Question

Considere os pontos A (0; y) B (-3; -2). Calcule o valor de y para que o comprimento do segmento AB seja igual a 5

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria analítica.

Considere os pontos $A~(0,~y)$ e $B~(-3,\,-2)$. Devemos determinar o valor de $y$ para que o comprimento do segmento $\overline{AB}$ seja igual a $5$.

Primeiro, lembre-se que a distância $d$ entre dois pontos de coordenadas $(x_0,~y_0)$ e $(x_1,~y_1)$ é calculada pela fórmula: $d=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$.

Substituindo as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ na fórmula e $d=5$, teremos:

$5=\sqrt{(-3-0)^2+(-2-y)^2}$

Some os valores entre parênteses e calcule as potências

$5=\sqrt{9+y^2+4y+4}\\\\\\ 5=\sqrt{y^2+4y+13}$

Eleve ambos os lados da igualdade ao quadrado

$25=|y^2+4y+13|$

Para resolver esta equação modular, lembre-se que o módulo de um número é definido por $|x|=\begin{cases}x,~se~x\geq0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$. Logo, teremos duas possíveis soluções:

$y^2+4y+13=25~~\bold{ou}~y^2+4y+13=-25$

Subtraia $25$ em ambos os lados da primeira igualdade e some $25$ em ambos os lados da segunda igualdade

$y^2+4y-12=0~~\bold{ou}~y^2+4y+38=0$

Seja a equação quadrática de coeficientes inteiros $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, suas soluções são dadas pela fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Assim, teremos:

$y=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}~~\bold{ou}~y=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot38}}{2\cdot1}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$y=\dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2}~~\bold{ou}~y=\dfrac{-4\pm\sqrt{-136}}{2}$

Observe que a segunda solução apresenta um radical cujo radicando é negativo. Sabendo que os pontos do plano cartesiano estão determinados em $\mathbb{R}^2$, teremos apenas as soluções:

$y=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{2}~~\bold{ou}~~y=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{2}$

Calcule o radical, sabendo que $64=8^2$, some os valores e simplifique as frações

$y=-6~~\bold{ou}~~y=2$

Dessa forma, conclui-se que estes são os valores de $y$ que fazem com que o segmento $\overline{AB}$ tenha comprimento igual a $5$.