Question

AJUDA 2) estabeleça o domínio das funções a) y=log3 (X-1/2) b) y=log(x-1) (3x+6) c) y=log(X+2) (x^2-4) OBS: 3 , x-1 e x+2 são bases

Answer 1

Vamos lá.

Bem, Matheus, como prometido desde ontem, vamos tentar resolver suas questões.
Como vimos, você quer que determinemos apenas o domínio das questões logarítmicas dadas.

Antes veja que:

i) Só há logaritmos de números maiores do que zero (positivos).
ii) A base, por sua vez, também terá que ser maior do que zero e, além disso, terá que ser diferente de "1".

Bem, visto isso, vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


a) y = log₃ (x - 1/2)

Veja: como a base é "3", então ela já é maior do que zero e diferente de "1". Portanto, não iremos nos preocupar com ela.
Portanto, a nossa preocupação ficará apenas com o logaritmando, que é "x - 1/2" (estamos entendendo que seja: "x menos 1/2" e não "(x-1)/2", que seria diferente na determinação do domínio).
Então, considerando que o logaritmando seja "x menos 1/2", então deveremos impor que ele seja maior do que zero, ou seja:

x - 1/2 > 0
x > 1/2 ----- Esta é a resposta para a questão do item "a". 

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x > 1/2}

Ou, também se quiser, o domínio poderia ser apresentado assim, o que significa o mesmo:

S = (1/2; +∞)



b) y = logₓ₋₁ (3x+6)

Veja: Para a base, deveremos impor que ela seja maior do que zero e diferente de "1". Então:

x - 1 > 0
x > 1

e

x - 1 ≠ 1
x ≠ 1 + 1
x ≠ 2

Assim, para a base, deveremos ter: x > 1 e x ≠ 2.

E, para o logaritmando deveremos impor que seja maior do que zero. Assim:

3x + 6 > 0
3x > - 6
x > -6/3
x > - 2 ----- ou seja, no que se refere ao logaritmando, "x" deverá ser maior do que "-2".

Agora veja: entre ser maior do que "1" e ser maior do que "-2", então prevalece ser o "x" maior do que "1", pois sendo maior do que "1" já é maior do que "-2".
Mas veja que "x" deverá ser diferente de "2", que é uma das restrições quanto à base.

Então, o domínio da questão do item "b" será:

1 < x < 2, ou x > 2 ----- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Se você quiser, também poderá apresentar o domínio da seguinte forma, que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 1 < x < 2, ou x > 2}

E, ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado assim, o que significa o mesmo:

S = (1; 2) U (2; +∞) . 



c) y = logₓ₊₂ (x²-4)

Vamos à base, que deverá ser maior do que zero e diferente de "1". Assim, temos para a base:

x + 2 > 0
x > - 2
e
x+2 ≠ 1
x ≠ 1 - 2
x ≠ -1

Assim, para a base, deveremos ter que: x > -2; e x ≠ -1.


Para o logaritmando devemos impor que ele seja maior do que zero. Assim:

x² - 4 > 0
x² > 4
x > +-√(4) ----- como √(4) = 2, então teremos:

x > +- 2 ----- isto significa que:

x < -2, ou x > 2

Note que "x" jamais irá poder ser menor do que "-2", pois já vimos que, no caso da base, "x" terá que ser maior do que "-2" e não menor. Além disso, ainda para a base "x" terá que ser diferente de "-1".
Dessa forma: entre "x" ser maior do que "2" (no caso do logaritmando) e ser maior do que "-2" e diferente de "-1" (no caso da base), vai prevalecer > 2, pois sendo x > 2 já será maior do que "-2" e também já será diferente de "-1".

Logo, o domínio da questão do item "c" será:

x > 2 ------ Esta é a resposta para a questão do item "c".

Se quiser, também poderá apresentar o domínio assim, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x > 2}


Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado da seguinte forma, o que significa o mesmo;

S = (2; +∞) .


Deu pra entender bem o desenvolvimento de todas as três questões?


OK?
Adjemir.