Question

Paula leciona em uma turma com 25 alunos e afirma:
“Nessa turma há pelo menos N alunos que nasceram em um
mesmo dia da semana”.
O maior valor de N para o qual podemos garantir que a afirmação
de Paula é verdadeira é
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
Considere a função quadrática y = x^2 −4x + 5 .
Seja N o número de pontos, com coordenadas inteiras,
pertencentes ao gráfico dessa função e que estão acima da reta
y = 2 e abaixo da reta y = 10.
O valor de N é
(A) 2.
(B) 4.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 10.

Answer 1

Bom dia!

1) Como uma semana tem 7 dias e a sala tem 25 alunos poderíamos ter, no mínimo, 25/7 = 3 alunos que nasceram no mesmo dia da semana e, 4 dias (25/7 dá 3 e resto 4) com 4 alunos que nasceram no mesmo dia. Então, como se quer a afirmação de pelo menos, podemos afirmar 3 alunos.
Letra C)

2)
Queremos encontrar entre y=2 e y=10 todos os pontos com coordenadas inteiras da função quadrática.
Vamos resolver as seguintes inequações:
$x^2-4x+5>2$ e $x^2-4x+5<10$ e procurar as respostas inteiras neste intervalo.
$x^2-4x+5>2\\ x^2-4x+3>0\\ \Delta=(-4)^2-4(1)(3)=4\\ x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{4}}{2(1)}\\ x=\frac{4\pm{2}}{2}\\ x'=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3\\ x''=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1\\ x<1\text{ ou }x>3$

Outra equação:
$x^2-4x+5<10\\ x^2-4x-5<0\\ \Delta=(-4)^2-4(1)(-5)=36\\ x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{36}}{2(1)}\\ x=\frac{4\pm{6}}{2}\\ x'=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5\\ x''=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1\\ -1<x<5$

A interseção entre as duas soluções:
$x<1\text{ ou }x>3\\ -1<x<5\\ -1<x<1\text{ ou }3<x<5$

Solução:
x=0 e x=4 (N=2)

Espero ter ajudado!