Question

Por qual motivo na construção do gráfico r=2sen(2theta) em coordenadas polares, o ponto máximo é 1.5 e não 2 ?

Answer 1

De fato, o valor de $r$ é máximo (em módulo) quando

$\mathrm{\,sen}(2\theta)=\pm 1\\ \\ 2\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ \\ \theta=\frac{\pi}{4}+k\,\frac{\pi}{2},\;\;\;k\in \mathbb{Z}$


Atribuindo valores inteiros para $k,$ obtemos os valores de $\theta$ para os quais a distância $r$ é máxima:

$\bullet\;\;\theta=\frac{\pi}{4}\\ \\ \bullet\;\;\theta=\frac{3\pi}{4}\\ \\ \bullet\;\;\theta=\frac{5\pi}{4}\\ \\ \bullet\;\;\theta=\frac{7\pi}{4}$


Em coordenadas cartesianas, os pontos correspondentes são:

$\bullet\;\;$ Para $\theta=\frac{\pi}{4}:$

$r=2\mathrm{\,sen\,}(\frac{\pi}{2})=2\\ \\ \\ x=r\cos \theta\\ \\ x=2\cos(\frac{\pi}{4})\\ \\ x=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ x=\sqrt{2}\approx 1,41\\ \\ \\ y=r\mathrm{\,sen\,} \theta\\ \\ y=2\mathrm{\,sen\,}(\frac{\pi}{4})\\ \\ y=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ y=\sqrt{2}\approx 1,41$


$\bullet\;\;$ Para $\theta=\frac{3\pi}{4}:$

$r=2\mathrm{\,sen\,}(\frac{3\pi}{2})=-2\\ \\ \\ x=r\cos \theta\\ \\ x=2\cos(\frac{3\pi}{4})\\ \\ x=-2\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}\\ \\ x=\sqrt{2}\approx 1,41\\ \\ \\ y=r\mathrm{\,sen\,} \theta\\ \\ y=-2\mathrm{\,sen\,}(\frac{3\pi}{4})\\ \\ y=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ y=-\sqrt{2}\approx -1,41$



$\bullet\;\;$ Para $\theta=\frac{5\pi}{4}:$

$r=2\mathrm{\,sen\,}(\frac{5\pi}{2})=2\\ \\ \\ x=r\cos \theta\\ \\ x=2\cos(\frac{5\pi}{4})\\ \\ x=2\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}\\ \\ x=-\sqrt{2}\approx -1,41\\ \\ \\ y=r\mathrm{\,sen\,} \theta\\ \\ y=2\mathrm{\,sen\,}(\frac{5\pi}{4})\\ \\ y=2\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}\\ \\ y=-\sqrt{2}\approx -1,41$


$\bullet\;\;$ Para $\theta=\frac{7\pi}{4}:$

$r=2\mathrm{\,sen\,}(\frac{7\pi}{2})=-2\\ \\ \\ x=r\cos \theta\\ \\ x=-2\cos(\frac{7\pi}{4})\\ \\ x=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ x=-\sqrt{2}\approx -1,41\\ \\ \\ y=r\mathrm{\,sen\,} \theta\\ \\ y=-2\mathrm{\,sen\,}(\frac{7\pi}{4})\\ \\ y=-2\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}\\ \\ y=\sqrt{2}\approx 1,41$


Note que nestes pontos,

as abscissas valem $x=\pm \sqrt{2}=\pm 1,41$

as ordenadas valem $y=\pm \sqrt{2}=\pm 1,41$


Na verdade não é $1,5,$ mas sim $\sqrt{2}\approx 1,41 \approx 1,5.$