Question

Alguem uma alma poderia me ajudar nessa questão ?
vértices P e Q do triângulo PQR estão sobre o eixo Ox de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A equação da reta suporte do segmento PR é – 2x – y + 6 = 0, e a reta suporte do segmento QR é a bissetriz dos quadran- tes ímpares. Nessas condições, a área do triângulo PQR é igual a

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que, no triângulo PQR, o vértice P e Q estão sobre o eixo dos "x" do sistema de coordenas cartesianas.
Tem-se que a equação da reta suporte do segmento PR é esta: -2x-y+6 = 0.
Sabe-se também que a reta suporte do segmento QR é a bissetriz dos quadrantes ímpares. Então, nesse caso, a equação dessa reta suporte será: x = y, ou, o que é a mesma coisa: x - y = 0.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Como o vértice P está sobre o eixo dos "x" e a equação da reta suporte PR é esta:

- 2x - y + 6 = 0 ------ então basta fazer y = 0 na equação acima e teremos qual o valor de "x". Assim, fazendo isso, teremos:

-2x - 0 + 6 = 0
- 2x + 6 = 0
- 2x = - 6 ------- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
2x = 6
x = 6/2
x = 3 <---- Este será o valor de "x" para y = 0.

Logo, este ponto (x; y) será: (3; 0) e será o vértice P.


ii) Como o vértice Q está também sobre o eixo dos "x" e a reta suporte do segmento QR é esta:

x - y = 0 ---- então, também basta fazer y = 0 e teremos o vértice Q (x; y). Assim, teremos:

x - 0 = 0
x = 0 <--- Este é o valor de "x" para y = 0.

Logo, este ponto (x; y) será o ponto (0; 0) e será o vértice Q.


iii) Agora vamos encontrar o vértice R, que será dado pelo encontro das duas retas, já que o segmento PR é: -2x-y+6 = 0; e a reta do segmento QR é: x - y = 0.

Assim, para encontrar o vértice R(x; y) basta que igualemos as duas funções, já que o vértice R é dado pelo encontro das duas retas dadas aí em cima.
Assim, fazendo isso, teremos:

- 2x - y + 6 = x - y ----- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

- 2x - y + 6 - x + y = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
- 3x + 6 = 0
- 3x = - 6 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:

3x = 6
x = 6/3
x = 2 <--- Este é o valor de "x" no ponto de encontro das duas retas.

Agora, para encontrarmos o valor de "y", basta irmos em uma das duas retas e substituirmos o "x" por "2". Vamos na reta do segmento QR, que é esta:

x - y = 0 ----- substituindo "x" por "2", teremos:
2 - y = 0
- y = - 2 ---- Multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
y = 2 <---- Este é o valor de "y" no ponto de encontro das duas retas.

Assim, como x = 2 e y = 2 no ponto de encontro das duas retas, então o vértice R(x; y) será:

R(2; 2).


iv)  Como já temos os três vértices, que são: P(3; 0); Q(0; 0) e R(2; 2), então vamos encontrar a área do triângulo PQR. Para isso, basta encontrarmos "1/2" do determinante do módulo da matriz formada pelas coordenadas de cada vértice.
Assim,  teremos que a área (A) do triângulo PQR será esta, já colocando a matriz em ponto de desenvolver:


.................||3....0....1||3....0|
A = (1/2)*||0....0.....1||0....0| ---- desenvolvendo a matriz, teremos:
................||2.....2....1||2....2|

A = (1/2)*|3*0*1 + 0*1*2 + 1*0*2 - (2*0*1 + 2*1*3 + 1*0*0)|
A = (1/2)*|0 + 0 + 0 -- (0 + 6 + 0)|
A = (1/2)*|0 - (6)| ---- retirando-se os parênteses, ficaremos com:
A = (1/2)*|0 - 6|
A = (1/2)*|-6| ----- como |-6| = 6, então ficaremos com:
A = (1/2)*6 ---- ou apenas:
A = 1*6/2
A = 6/2
A = 3 u.a. <---- Esta é a resposta. (Observação: u.a. = unidades de área).


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.