Question

Determinar as equações paramétricas do plano α que contém os pontos A(0,0,0), B(6,1,2) e C(3,-4,1).

Answer 1

Para gerar o plano, podemos obter dois vetores a partir dos pontos dados:

$\bullet\;\;\mathbf{u}=\overrightarrow{AB}\\ \\ \mathbf{u}=B-A\\ \\ \mathbf{u}=(6,\,1,\,2)-(0,\,0,\,0)\\ \\ \mathbf{u}=(6,\,1,\,2)\\ \\ \\ \bullet\;\;\mathbf{v}=\overrightarrow{AC}\\ \\ \mathbf{v}=C-A\\ \\ \mathbf{v}=(3,\,-4,\,1)-(0,\,0,\,0)\\ \\ \mathbf{v}=(3,\,-4,\,1)$


Com um dos pontos dados e os dois vetores obtidos, temos uma equação vetorial para o plano:

$(x,\,y,\,z)=A+\lambda\, \mathbf{u}+\mu\, \mathbf{v}\\ \\ (x,\,y,\,z)=(0,\,0,\,0)+\lambda\, (6,\,1,\,2)+\mu\, (3,\,-4,\,1),\;\;\;\lambda,\,\mu\in\mathbb{R}$


Para obter as equações paramétricas, basta igualarmos as coordenadas dos dois lados da equação:

$(x,\,y,\,z)=(0,\,0,\,0)+(6\lambda,\,\lambda,\,2\lambda)+ (3\mu,\,-4\mu,\,\mu)\\ \\ (x,\,y,\,z)=(6\lambda+3\mu,\,\lambda-4\mu,\,2\lambda+\mu)$


As equações paramétricas são:

$\alpha:\;\left\{ \begin{array}{l} x=6\lambda+3\mu\\ y=\lambda-4\mu\\ z=2\lambda+\mu \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\lambda,\,\mu\in\mathbb{R}$