Question

Um capital foi aplicado, em capitalizações trimestrais, durante 3 anos, a 18% ao ano. Se esse capital fosse aplicado nas mesmas condições, porém com capitalizações anuais, a diferença de juros entre a primeira e a segunda aplicação seria de R$ 290,68. Qual foi o capital aplicado?

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que um capital "C" foi aplicado com capitalização trimestral, durante 3 anos, a 18% ao ano.
Se esse mesmo capital "C" tivesse sido aplicado nas mesmas condições, porém com capitalização anual, a diferença de juros entre a primeira e a segunda aplicação seria de R$ 290,68.
Dadas essas informações pede-se o valor do capital aplicado.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Se o capital tivesse sido aplicado por 3 anos a 18% ao ano, mas com capitalização trimestral, então teríamos o seguinte montante (considerando o regime de juros compostos, que você não informou, mas que vamos considerar assim):

M = C*(1+i)^(n), em que "M" é o montante, "C" é o capital, "í" é a taxa de juros e "n" é o tempo.

Note que, para a capitalização trimestral,  dispomos das seguintes informações para substituir na fórmula do montante acima:

M = M 
C = C
i = 0,045 ao trimestre (veja que 18% ao ano equivale a 4,5% ao trimestre, pois um ano tem 4 trimestres. Logo: 18/4 = 4,5. E 4,5% = 4,5/100 = 0,045).
n = 12 ----- (note que 3 anos tem 12 trimestres, pois cada ano tem 4 trimestres. Logo, 3 anos terá 3*4 = 12 trimestres).

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

M = C*(1+0,045)¹²
M = C*(1,045)¹² ----- veja que (1,045)¹² = 1,69588 (bem aproximado). Logo:

M = C*1,69588 ---- ou, o que é a mesma coisa:
M = 1,69588C  <---- Este é o montante do capital aplicado com capitalização trimestral.



ii) Agora vamos a esse mesmo capital aplicado com capitalização anual.
Vamos aplicar a mesma fórmula de montante:

M = C*(1+i)^(n)

Veja: para o capital aplicado com capitalização anual, teremos as seguintes informações:

M = M
C = C
i = 0,18 ao ano ---- (note que 18% = 18/100 = 0,18)
n = 3 ----- (são 3 anos de aplicação).

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

M = C*(1+0,18)³
M = C*(1,18)³ ------- veja que 1,18³= 1,64303 (bem aproximado). Assim:

M = C*1,64303 --- ou, o que é a mesma coisa:

M = 1,643032C <---- Este é o montante do capital aplicado com capitalização anual.


iii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é o valor do capital aplicado.
Como sabemos que este capital, com capitalização trimestral é superior, em R$ 290,68, a esse mesmo capital aplicado com capitalização anual, então teremos que:

1,69588C = 1,64303C + 290,68 ------ passando "1,64303C" para o 1º membro, temos:

1,69588C - 1,64303C = 290,68 ---- veja que 1,69588C-1,64303C = 0,05285C. Assim:

0,05285C = 290,68 ---- isolando "C". teremos:

C = 290,68/0,05285 ---- veja que esta divisão dá 5.500 (bem aproximado) . Assim, teremos que:

C = 5.500,00 <--- Esta é a resposta. Este foi o capital aplicado.


Deu pra entender bem?


OK?
Adjemir.