Question

(50 PONTOS) Por favor, preciso de ajuda.
Dada a sequência numérica
$a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n},\;\;\;n\geq 1$
como mostrar que esta sequência é crescente? Ou seja, como verificar que
$a_{n+1}\geq a_{n}$
para todo $n$ natural maior ou igual que $1?$

Answer 1

1) Note que

            $\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{n^k}\\ \\ \\ \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}\cdot \dfrac{1}{(n+1)^k}$

2) También...
          $\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\geq \sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}\cdot \dfrac{1}{(n+1)^k}$

3) comparemos términos

         $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{n^k}\sim \dfrac{n!}{n^k\cdot k!\cdot(n-k)!}\\ \\ \\ \sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}\cdot \dfrac{1}{(n+1)^k}\sim \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^k\cdot k!\cdot(n+1-k)!}$

Quedándonos con lo que nos interesa, o sea quitando términos comunes

         $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{n^k}\sim \dfrac{1}{n^k}\\ \\ \\ \sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}\cdot \dfrac{1}{(n+1)^k}\sim \dfrac{n+1}{(n+1)^k\cdot(n+1-k)}\\ \\ \\ \\.$


4) ahora comparemos estos dos términos 

           $\dfrac{1}{n^k} \;\square\; \dfrac{n+1}{(n+1)^k\cdot(n+1-k)}$

donde $\square \in\{\ \textless \ ,\ \textgreater \ ,=,\geq,\leq\}$

Prosigamos

         $\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^k \;\square\; \dfrac{n+1}{n+1-k}\\ \\ \\ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k \;\square\; 1+\dfrac{k}{n+1-k}$

5) Luego veamos esta diferencia

          $\Delta=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k - \left(1+\dfrac{k}{n+1-k}\right)\\ \\ \\ \Delta=\left(1+\dfrac{1}{n}\right) - \left(1+\dfrac{k}{n+1-k}\right)$

          $\Delta=\dfrac{1}{n}-\dfrac{k}{n+1-k}$

Además note que $1\leq k\leq n$, por ello

           $-n\leq -k\leq -1\\ \\ 1-n\leq 1-k\leq 0\\ \\ 1\leq n+1-k\leq n\\ \\ \dfrac{1}{n}\leq \dfrac{1}{n+1-k}\leq 1\Longrightarrow \boxed{\Delta \leq 0} \\ \\.$

6) del inciso (5) tenemos

          $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k - \left(1+\dfrac{k}{n+1-k}\right)\leq 0\\ \\ \\ \boxed{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k\leq 1+\dfrac{k}{n+1-k}}$

7) así $\square$ es $\leq$

Por ende

           $\boxed{\boxed{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\leq\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}}$

para todo $n\in \mathbb N$