Question

(UFC) O maior inteiro x, tal que 60!/(7 elevado a x) seja um número natural é?

Answer 1

60! / (7 elevado a x) = 60.59.58.57.56..........1 / 7.7.7.7.7.....

Para que isso resulte num nº natural, todos esses 7 do denominador devem ser cancelados. Isso acontecerá toda vez que, no numerador, tivermos um múltiplo de 7.

Então vamos encontrar o nº de múltiplos de 7 entre 60 e 1
60 não é múltiplo de 7, nem 59, nem 58, nem 57. O primeiro múltiplo de 7 é 56
1 não é múltiplo de 7, nem 2, nem 3, nem 4, nem 5, nem 6. O último múltiplo de 7 é 7
Então temos uma PA de razão r = -7, a1 = 56 e an = 7
Usando a fórmula an = a1 + (n - 1).r , temos:
7 = 56 + (n - 1).(-7)
7 = 56 - 7n + 7
7n = 56 + 7 - 7
7n = 56
n = 56/7 = 8
Logo, essa PA tem 8 termos

Então são 8 fatores no numerador, que são múltiplos de 7, que serão simplificados com cada 7
do denominador. Isto quer dizer que devemos ter oito 7 no denominador.

Portanto, x = 8 

Answer 2

Resposta:

x = 9

Explicação passo-a-passo:

Vi a resolução da Marilvia, e a parabenizo. Ressalto apenas que ela esqueceu do caso que 49 é $7^{2}$ . Sendo assim, a resolução dela ficaria:

60! / (7 elevado a x) = 60.59.58.57.56..........1 / 7.7.7.7.7.....

Para que isso resulte num nº natural, todos esses 7 do denominador devem ser cancelados. Isso acontecerá toda vez que, no numerador, tivermos um múltiplo de 7.

Então vamos encontrar o nº de múltiplos de 7 entre 60 e 1

60 não é múltiplo de 7, nem 59, nem 58, nem 57. O primeiro múltiplo de 7 é 56

1 não é múltiplo de 7, nem 2, nem 3, nem 4, nem 5, nem 6. O último múltiplo de 7 é 7

Então temos uma PA de razão r = -7, a1 = 56 e an = 7

Usando a fórmula an = a1 + (n - 1).r , temos:

7 = 56 + (n - 1).(-7)

7 = 56 - 7n + 7

7n = 56 + 7 - 7

7n = 56

n = 56/7 = 8

Logo, essa PA tem 8 termos

além disso, temos que 49 = $7^{2}$, então são 9 fatores no numerador, que são múltiplos de 7, que serão simplificados com cada 7.