Question

Resolva o seguinte limite:

$\lim_{x \rightarrow \infty} (x+\sqrt[3]{1-x^3} )$

Answer 1

Olá!!

$\lim_{x \to \infty} (x+\sqrt[3]{1-x^{3} })$ ← Avaliando o limite separadamente

$\lim_{x \to \infty} (x)\\ \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{1-x^{3} })$

$\lim_{x \to \infty} (x) =+ \infty$ ← Polinómio coeficiente positivo é igual +∞

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{1-x^{3} } ) = (1-x^{3} )$ ← Avalie o radicando e reorganize os termos

$\lim_{x \to \infty} (-x^{3} +1) = -\infty$ ← Polinómio coeficiente negativo é -∞

Dado que a expressão +∞ -∞ é indeterminada, transforme a expressão:

$\lim_{x \to \infty} (x+\sqrt[3]{1-x^{3} })$

Expanda a expressão com: $\frac{x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3} } +\sqrt[3]{(1-x^{3}) ^{2} } }{x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3} }+\sqrt[3]{(1-x^{3} )^{2} } }$

$\lim_{x \to \infty} ((x+\sqrt[3]{1-x^{3} }) \times \frac{x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3} } +\sqrt[3]{(1-x^{3}) ^{2} } }{x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3} }+\sqrt[3]{(1-x^{3} )^{2} } }$ ← Calcule a multiplicação

$\lim_{x \to \infty}( \frac{(x+\sqrt[3]{1-x^{3} }) \times (x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3} } +\sqrt[3]{(1-x^{3}) ^{2} } }{x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3} }+\sqrt[3]{(1-x^{3} )^{2} } })$

Usando (a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³, para simplificar:

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x^{3} +\sqrt[3]{1-x^{3} } ^{3} }{x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3} }+\sqrt[3]{(1-x^{3} )^{2} } } )$ ← Simplifique a raiz

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x^{3}+1 -x^{3} }{x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3}+\sqrt[3]{(1-x^{3} )} ^{2} } } )$ ← Remove os opostos

$\lim_{x \to \infty} (\frac{1 }{x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3}+\sqrt[3]{(1-x^{3} )} ^{2} } } )$ ← Avaliando os limites

$\lim_{x \to \infty} (1) = 1$ ← O limite é igual à constante

$\lim_{x \to \infty} (x^{2} -x\sqrt[3]{1-x^{3} } +\sqrt[3]{(1-x^{3}) ^{2} } )$ ← Avalie

$\lim_{x \to \infty} (x^{2} - x\sqrt[3]{1-x^{3} })\\ \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{(1-x^{3})^{2} } )$ ← Calcule o limite

$+\infty\\+\infty$ ← É igual a +∞

$1\\+\infty$

Dado que a expressão a/±∞, a ∈ R é definida como 0, o limite é igual 0

$0$ ← Solução