Question

Se uma empresa tiver o custo total para a produção e comercialização de garrafas de vinho dado por C=0,5x²+25x+3600 e a receita total dada por R=−0,5x²+175x, onde x representa a quantidade de garrafas produzidas:
a) Obtenha a função lucro total.
b) Qual a quantidade de garrafas a serem comercializadas para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo?

Answer 1

Resposta:

a) L = -x²+150x-3600

b) Lucro máximo de R$ 2.025 ao serem vendidas 75 unidades da mercadoria.

Explicação passo-a-passo:

a) Lucro é receita menos custo.

$\begin{array}{l}</p><p>{{L}{=}{R}{-}{C}}\\</p><p>{{=}{-}{0}{,}{5}{x}^{2}{+}{175}{x}{-}{(}{0}{,}{5}{x}^{2}{+}{25}{x}{+}{3}{6}{0}{0}{)}}\\</p><p>{{=}{-}{x}^{2}{+}{150}{x}{-}{3600}}</p><p>\end{array}$

b) O lucro máximo é onde a derivada da função lucro, a função lucro marginal, é zero. A derivada da função lucro é:

${D}{(}{L}{)}{=}{-}{2}{x}{+}{150}$

Fazendo D(L) = 0

${{-}}{2}{x}{{+}}{{150}}{{=}}{0}{\Rightarrow}{{-}}{2}{x}{{=}}{{-}}{{150}}{\Rightarrow}{x}{{=}}{{75}}$

Lucro máximo ao serem vendidas 75 unidades da mercadoria. Para saber qual é o lucro máximo, basta inserir 75 na função lucro.

$\begin{array}{l}</p><p>{{L}{=}{-}{75}^{2}{+}{150}\times{75}{-}{3600}}\\</p><p>{{=}{-}{5625}{+}{11250}{-}{3600}}\\</p><p>{{=}{2025}{.}}</p><p>\end{array}$

Lucro máximo de R$ 2.025 ao serem vendidas 75 unidades da mercadoria.