Question

(30 PONTOS) Mostrar que, para todo $x\ \textgreater \ 0,$

$1-\dfrac{1}{x} \leq \mathrm{\ell n\,}(x)\leq x-1.$

Answer 1

Esta idea es sacada del libro de Tom Apostol (si mal no recuerdo, está propuesto y deja como HINT lo que pondré a continuación) Calculo II

Analizaremos las siguientes funciones $f(x)=x-1-\ln x$ y $g(x) = \ln x-1+\dfrac{1}{x}$, calcularemos si hay mínimo en cada función

$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$ cuyos puntos críticos son $x=0$ y $x=1$

cuando $0<x<1 \to f'(x)<0$ (*)
cuando $x\ \textgreater \ 1\to f'(x)\ \textgreater \ 0$

Por ende x = 1 es un punto de mínimo (local) y en consecuencia $f(x)\geq 0$ cuando x > 0 como se indica en (*) y la siguiente línea.

Ahora veamos a la otra función 
                 $g'(x) = \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$

donde se deduce que los puntos críticos son x = 0 & x = 1 
de forma análoga al anterior análisis obtenemos que x = 1 es un mínimo (local) y por ello $g(x)\geq 0$. Con lo cual termina la prueba.