Question

Resolva a inequação
x+2 /2x-1 $\geq$ 1!!
toda a equação em módulo

a resposta é o  $-1/3 \leq x \leq 3 e x \neq 1/2$

Answer 1

Vamos lá

Tem-se a seguinte inequação: |(x+2)/(2x-1)| ≥ 1

Antes de iniciar, veja que denominador nenhum poderá ser zero. Então, de início já temos uma restrição, que será o denominador ter que ser diferente de zero. Assim, deveremos impor que:  2x - 1 ≠ 0 ---> 2x ≠ 1 -----> x ≠ 1/2 <--- Esta é a primeira restrição

Agora vamos desenvolver o módulo, considerando as condições de existência de funções modulares, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento:


i) 1ª hipótese: para (x+2)/(2x-1) ≥ 0, teremos, teremos:
(x+2)/(2x-1) ≥ 1 ---- vamos passar o "1" do 2º para o m1º membro:
(x+2)/(2x-1) - 1 ≥ 0 ------ mmc = "2x-1". Assim, utilizando-o, teremos:
[(x+2) - 2x + 1]/(2x-1) ≥ 0 ---- ou, o que é a mesma coisa:
[x + 2 - 2x + 1]/(2x-1) ≥ 0
[- x + 3]/(2x-1) ≥ 0 ---- ou apenas:
(-x+3)/(2x-1) ≥ 0

Veja: aqui ficamos com o quociente entre duas funções: f(x) = -x+3; e g(x) = 2x-1.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações e depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas.
Assim, teremos:
f(x) = - x + 3 ---> raízes: -x+3 = 0 ----> -x = - 3 ---> x = 3
g(x) = 2x-1 ----> raízes: 2x-1 = 0 ---> 2x = 1 ---> x = 1/2
Agora vamos estudar a variação de sinais das duas equações acima, em função de suas raízes:

a) f(x) = - x + 3 ...++++++++++++++++++(3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = 2x-1.....- - - - - - - - (1/2) +++++++++++++++++++++++++++++
c) a/b................- - - - - - - -  (1/2)+++++++(3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Assim, para esta primeira hipótese, como queremos que a inequação seja maior ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c", que nos dá o resultado da divisão f(x)/g(x) ≥ 0 . Assim, valerá, para esta primeira hipótese, o seguinte intervalo: (veja que "x" não poderá ser igual a "1/2", conforme restrição já vista anteriormente):  1/2 < x ≤ 3 --- Esta é a condição válida para a 1ª hipótese.


ii) 2ª hipótese: para (x+2)/(2x-1) < 0, teremos:

-[(x+2)/(2x-1)] ≥ 1 ------ multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:
[(x+2)/(2x-1)] ≤ -1 ------ passando "-1" para o 1º membro, teremos:
(x+2)/(2x-1) + 1 ≤ 0 ----- mmc = "2x-1". Assim, aplicando-o, teremos:
[(x+2) + 2x - 1]/(2x-1) ≤ 0 ---- retirando-se os parênteses que estão dentro dos colchetes, no numerador, teremos:

[x + 2 + 2x - 1]/(2x-1) ≤ 0
[3x + 1]/(2x-1) ≤ 0 ---- ou, o que é a mesma coisa:

(3x+1)/(2x-1) ≤ 0

Agora veja: a exemplo do que fizemos no item "i", note que temos a divisão entre duas funções: h(x) = 3x+1 e i(x) = 2x-1. Faremos a mesma coisa que fizemos anteriormente: encontraremos as raízes das duas equações e depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais de cada uma delas. Assim, teremos:
h(x) = 3x + 1 ----> raízes: 3x+1 = 0 ---> 3x = - 1 ----> x = - 1/3
i(x) = 2x-1 ----> raízes: 2x-1 = 0 ----> 2x = 1 ----> x = 1/2.

Agora vamos encontrar a variação de sinais de cada uma das funções:

a) h(x) = 3x + 1 .... - - - - - - - - (-1/3) +++++++++++++++++++++
b) i(x) = 2x-1 ........- - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1/2)+++++++++++
c) a/b .................. +++++++++(-1/3)- - - - - - -(1/2)+++++++++++

Como, agora, queremos que h(x)/i(x) seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão das duas funções. Assim, teremos que "x" estará no seguinte intervalo:

-1/3 ≤ x < 1/2 ---- Note: "x" não poderá ser "1/2". Vide restrição anterior.


iii) Agora vamos fazer o seguinte: a resposta vai ser o intervalo que for a intersecção (se houver) entre o que vale para a 1ª e 2ª hipóteses (itens "i" e "ii").
Marcaremos com o símbolo ////////// o que valerá para cada uma das hipóteses ("i" e "ii") e a intersecção (se houver) marcaremos com o símbolo |||||||||||| .

Assim, teremos:

1) O que vale para a 1ª hipótese: _________(1/2) / / / / / / /   (3) __
2) O que vale para a 2ª hipótese: (-1/3)/ / / /  (1/2) _____________
3) Intersecção: não há.

Assim, valem os dois intervalos acima, ou seja, temos que:

1/2 < x ≤ 3 ou: -1/3 ≤ x < 1/2. Assim, colocando-se na ordem, a resposta será (ou seja, o domínio da inequação originalmente dada será este):

-1/3 ≤ x < 1/2, ou: 1/2 < x ≤ 3 ----------- Esta é a resposta.

Você deu, pelo seu gabarito, que a resposta seria: -1/3 ≤ x ≤ 3, e x ≠ 1/2.
Note que a resposta que demos significa a mesmíssima coisa, valendo notar que a resposta que demos é a mais técnica possível, pois se você, numa olhada passageira, verificar que o gabarito deu -1/3 ≤ x ≤ 3, sem se aperceber que há a restrição de x ≠ 1/2, poderia dar uma ideia errônea da resposta correta.
Por isso, sugerimos que adote a resposta que demos, e que é esta:

-1/3 ≤ x < 1/2; ou 1/2 < x ≤ 3 --------- Esta é a resposta recomendável.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.