Question

Alguém resolve essa letra c aí?

Answer 1

Condição de existência:
x > 0 e y > 0


- Primeira equação:

Vamos passar todos os logaritmos para a base 3:

log3 x + (log3 y)/(log3 1/3) = 5
log3 x + (log3 y)/(log3 3^-1) = 5
log3 x + (log3 y)/(- log3 3) = 5
log3 x - log3 y = 5

- Segunda equação:

Vamos passar todos os logaritmos para a base 3:

(log3 x)/(log3 9) . (log3 y)/(log3 27) = - 1
(log3 x)/2 . (log3 y)/3 = - 1
(log3 x).(log3 y)/6 = - 1
(log3 x).(log3 y) = - 6

Substituindo (log3 x) = a e (log3 y) = b, temos o seguinte sistema:

a - b = 5   (i)
a.b = - 6   (ii)
 
Isolando a = 5 + b e substituindo em (ii):

(5 + b).b = - 6
5b + b² = - 6
b² + 5b + 6 = 0
(b + 2).(b + 3) = 0
b = - 2 ou b = - 3

Se b = - 2, substituindo em (i), temos:
a - (- 2) = 5
a = 3

Se b = - 3, substituindo em (i), temos:
a - (- 3) = 5
a = 2

Substituindo nos logaritmos os dois pares a e b possíveis:

1) a = 3 e b = - 2
log3 x = 3 ⇒ x = 3^3 = 27
log3 y = - 2 ⇒ y = 3^-2 = 1/9

2) a = 2 e b = - 3
log3 x = 2 ⇒ x = 3^2 = 9
log3 y = - 3 ⇒ y = 3^-3 = 1/27

Como a condição de existência foi contemplada, temos dois pares possíveis de soluções:

x = 27 e y = 1/9 ou x = 9 e y = 1/27.