Question

Na figura os segmentos de reta AB e AC tangenciam a circunferência nos pontos B e C respectivamente. Sabendo que BC = 10 cm e m(BÂC) = 60°, calcule a medida do raio dessa circunferência.

Answer 1

De acordo com o enunciado temos:
- Ponto A, externo à circunferência, pelo qual traçamos as tangentes AB e AC;
- BC é uma corda.
Vamos chamar de:
- Ponto O, centro da circunferência;
- Ponto M, ponto médio da corda BC.

Vamos agora considerar dois dos 4 triângulos que os pontos acima definiram:
- Triângulo ABO;
- Triângulo AMB.

1. No triângulo ABO, temos:
- OB, raio da circunferência, valor que precisamos obter:
- Ângulo ABO = 90º, pois AB é tangente à circunferência e, portanto, perpendicular ao raio OB;
- Ângulo OAB = 30º, pois OA é bissetriz do ângulo BAC.

2. No triângulo AMB, temos:
- BM = 5 cm, pois M é o ponto médio de BC;
- Ângulo MAB = ângulo OAB = 30º

Se aplicarmos a função trigonométrica seno no triângulo AMB, teremos:
sen 30º = cateto oposto ÷ hipotenusa
0,5 = BM ÷ AB
AB = 5 ÷ 0,5
AB = 10 cm

Considerando agora o triângulo ABO, vamos aplicar a função trigonométrica tangente ao ângulo AOB:
tg 30º = cateto oposto ÷ cateto adjacente
0,577 = OB ÷ AB
OB = 0,577 × 10
OB = 5,77 cm

R.: O raio da circunferência mede 5,77 cm