Matéria: Matemática
Autor: Dougcob4in
Perguntado 9 anos atrás

Para cada item, calcule Z.Z.
a) Z=1-2i
b) Z=4+2i
c) Z=7+raiz de 8i
d) Z=-5
e) Z=4i

Respostas

respondido por: adjemir

Vamos lá.

Pelo que estamos entendendo, a sua questão pede para calcular "z*z", sabendo-se que:

a) z = 1 - 2i ----- para calcularmos o valor de "z*z", basta multiplicar "1-2i" por ele mesmo, ficando assim:

z*z = (1-2i)*(1-2i) ---- ou, o é a mesma coisa:
z*z = (1-2i)² ------------ desenvolvendo, teremos:
z*z = 1² - 2*1*2i + (-2i)²
z*z = 1 - 4i + 4i² ----- veja que i² = - 1. Assim:
z*z = 1 - 4i + 4*(-1)
z*z = 1 - 4i - 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
z*z = - 3 - 4i <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) z = 4 + 2i ------- utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, temos:

z*z = (4+2i)*(4+2i) --- ou, o que é a mesma coisa:
z*z = (4+2i)² ---- desenvolvendo, teremos:
z*z 4² + 2*4*2i + (2i)²
z*z = 16 + 16i + 4i² ----- como i² = -1, teremos:
z*z = 16 + 16i + 4*(-1)
z*z = 16 + 16i - 4 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
z*z = 12 + 16i <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) z = 7 + √(8)i --- ou, o que é a mesma coisa:

z = 7 + i√8 ----- utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, temos:

z*z = (7 + i√8)*(7+i√8) --- ou, o que é a mesma coisa:

z*z = (7 + i√8)² ---- desenvolvendo, teremos:
z*z = 7² + 2*7*i√8 + (i√8)²
z*z = 49 + 14i√8 + i²*8 --- ou:
z*z = 49 + 14i√8 + 8*i² ---- como i²= -1, teremos:
z*z = 49 + 14i√8 + 8(-1)
z*z = 49 + 14i√8 - 8 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
z*z = 41 + 14i√8 <--- Esta é a respossta para a questão do item "c".

d) z = - 5 ------ utilizando o mesmo raciocínio das questões anteriores, teremos:

z*z = (-5)*(-5) --- ou, o que é a mesma coisa:
z*z = (-5)²
z*z = 25 <--- Esta é a resposta para a questão do item "d".

e) z = 4i ----- utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, teremos:

z*z = 4i*4i ---- ou, o que é a mesma coisa:
z*z = (4i)²
z*z = 16i² -------- como i² = -1, teremos;
z*z = 16*(-1)
z*z = - 16 <--- Esta é a respossta para a questão do item "e".

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

adjemir: Disponha sempre e bons estudos.

adjemir: Doug, você falou, depois, que os complexos apresentados nesta questão seriam encontrar, em cada item, o produto de "z*z barra", significando dizer que o "z barra" é o conjugado de "z". Se é assim, então, considerando que a questão ainda dá pra editar, editarei a minha resposta levando em conta que o produto é entre "z" e "z barra". OK?

Dougcob4in: ok! contente com a explicação e a resposta, obrigado.

adjemir: Doug, eu fui tentar editar a resposta e, após iniciar a edição, começou a aparecer mensagens como "está havendo alguma coisa", ou coisa que o valha. Então faça o seguinte: considere assim: no item "a" tem-se z = 1-2i. Então o conjugado será" (1+2i). Aí você efetua o produto e vai dar igual a "5". No item "b" tem-se que z = 4+2i, então o conjugado será: 4-2i. Efetuando o produto dá: 20. No item "c" tem-se que z = 7 + i*√8. Então o conjugado será: 7 - i√8. O produto entre eles dois dará: 57. No

adjemir: Continuando... no item "d", temos z = - 5. Note que, como este complexo não tem a parte imaginária, então ele seria escrito da seguinte forma: z = - 5+0i; e o conjugado ficará: -5-0i. Então a multiplicação de u m pelo outro ficaria: (-5+0i)*(-5-0i) = 25; Finalmente vamos para o item "d" que tem o seguinte complexo: z = 4i ---- note que este complexo, como não tem a parte real, poderia ser escrito assim: z = 0 + 4i. Logo, o conjugado seria: 0 - 4i. E, multiplicando-se: (0+4i)*(0-4i), teríamos:

adjemir: Continuando.... teríamos: 4i*(-4i) = - 16i² = -16*(-1) = 16. Pronto. Só não editei porque começou a dar umas "broncas". Mas tente e você verá que acertará todas. OK?

Dougcob4in: ok muito obrigado pelas respontas e explicação da pergunta! agradecido.

respondido por: Helvio

z * z = z²

i² = -1

===
a)

$z = 1 - 2i \\ \\ z = (1 - 2i)(1 + 2i) \\ \\z = 1 - 2i + 2i + 4 \\ \\ z = 5$

===
b)

$z = 4 + 2i \\ \\z = (4 + 2i)(4 - 2i) \\ \\ z = 16 \ -\not8i + \not8i + 4 \\ \\ z = 20$

===
c)

$z = 7 + \sqrt{8i} \\ \\ z = (7 + \sqrt{8i} )(7 - \sqrt{8i} ) \\ \\ z = 49 + 7* -\sqrt{8i} + 7 * \sqrt{8i} - (-\sqrt{8i})^2 \\ \\ z = 49 + 7 *(2 + 2i ) + 7 *(2 + 2i ) - 8i \\ \\ 49 + \not14 - \not14i - \not14 + \not14i - 8i \\ \\z = 49 - 8i$

===
d)

$z = -5 \\ \\ z = (-5 + 0i ) (-5 + 0i) \\ \\ (-5 + 1)(-5 -0) \\ \\ z = 25 - 5 \\ \\ z = 20$

===
e)

$z = 4i \\ \\ z = (4i) (-4i)\\ \\ z = -16 * -1 =\ \textgreater \ 16$

Dougcob4in: o resultado das D) e E) estão diferentes do livro? caso C) é 57 e E) é 20 resultado final do livro, poderia conferir isso pra mim.

Helvio: Os resultados são estes mesmos, que estão na resposta, fiz de novo e deu : 49 - 8 e) 16

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