Question

Calcule:
a) lim r²+2r-3 / r²+7r+12
x→-3

b) lim √x - 5 /x-25
x→25

Answer 1

a) Vamos fatorar os polinômios. Sabemos que se substituirmos r por -3, dará uma indeterminação, ou seja, 0/0, por isso, já vemos que ambos possuem raiz -3. Então:

 r²+2r-3     | r+3          Então, o polinômio r²+2r-3 pode ser escrito como (r+3)(r-1)
-r²-3r          r-1
 \\  -r-3
    +r+3
      \\ \\  

Fazendo o mesmo com o outro polinômio

   r²+7r+12       |r+3       Então, pode ser reescrito como (r+3)(r+4)
-r²-3r                 r+4
\\ 4r+12
  -4r-12
   \\  \\

Então, temos que:

lim       (r+3)(r-1) / (r+3)(r+4)
r-> -3 

lim      r-1 / r+4     = -3-1 / -3+4 = -4/1 = -4
r-> -3

b)Vamos usar a desracionalização

$\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x}-5}{x-25}\ \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5}} =\frac{x-25}{(x-25)(\sqrt{x}+5)}} \\\\ \lim_{x \to 25}\ \frac{1}{\sqrt{x}+5} = \frac{1}{\sqrt{25}+5} = \frac{1}{5+5}\\\\ \large{\boxed{= \frac{1}{10}}$