Question

No triângulo MNP da figura, sabe-se que:

- o perímetro é 25 cm;

- a bissetriz MQ do ângulo interno M determina no lado NP o segmento QP, que mede 6 cm;

- o lado MN mede 6 cm.

Calcule a medida do lado MP.

Answer 1

A medida do lado MP é 9 cm.

Explicação:

Pelas descrições do enunciado, construí a figura que segue abaixo.

Chamei a medida do lado MP de x, e a medida do segmento NQ de y.

Sabemos que, pelo teorema das bissetrizes internas, a bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Então:

6 = y

x      6

x·y = 6·6

x·y = 36  (I)

O perímetro é a soma dos lados. Logo:

P = x + y + 6 + 6

25 = x + y + 12

x + y = 25 - 12

x + y = 13

Então, podemos fazer: y = 13 - x  (II)

Substituindo (II) em (I), temos:

x·(13 - x) = 36

13x - x² - 36 = 0

x² - 13x + 36 = 0

Agora, vamos resolver essa equação do 2° grau.

Δ = b² - 4ac

Δ = (-13)² - 4·1·36

Δ = 169 - 144

Δ = 25

x = - b ± √Δ

         2a

x = - (-13) ± √25

          2·1

x = 13 ± 5

        2

x₁ = 9

x₂ = 4

Pela figura, podemos perceber que o lado MP é maior que NQ. Então, ficamos com o maior valor de x.

MP = 9 cm.