Question

durante muito tempo Antônio guardou moedas de R$ 1,00 para realizar um sonho de infância. Certo dia, resolveu contar a quantia que juntou. Inicialmente organizou todas as moedas em grupos de 24, de modo que sobraram 5 moedas. Em um segundo momento, as organizou em grupos com 25 moedas cada, situação em que também sobraram 5 moedas. Se Antônio tem entre 1000 e 1500 moedas de R$ 1,00, Qual foi a quantia que ele juntou? A)R$ 605,00 B)R$ 1.005,00 C)R$ 1.205,00 D)R$ 1.495,00​

Answer 1

Com base na representação das equações, obtemos que Antonio montou

R $ 1.205,00. A seguir, explicaremos como chegamos a isso:

Seja "a" o número de grupos de 24 moedas e "b" o número de grupos  de 25 moedas. A partir disso, representamos as equações:

• "Organizou todas as moedas em grupos de 24, de modo que  sobraram 5 moedas"

        $\to \mathsf{Total\ de\ moedas\ =\ 24a\ +\ 5}$

• "Em um segundo momento, as organizou em grupos com 25 moedas cada, situação em que também sobraram 5 moedas"

        $\to \mathsf{Total\ de\ moedas\ =\ 25b\ +\ 5}$

Igualamos as duas equações

      $\text{24a + 5 = 25b + 5}\\\\\\\text{24a = 25b}$

Representamos "a" e "b" em função de "k":

      $\to\ \boldsymbol{a=25k}\\\\\\\to\ \boldsymbol{b=24k}$

Substituímos no total de moedas:

      $\text{Total\ de\ moedas\ =\ 24a\ +\ 5}\\\\\\\text{Total\ de\ moedas = 24(25k) + 5}\\\\\\\text{Total\ de\ moedas =}\ \boxed{\bf{ 600k + 5}}$

Como as moedas estão entre 1000 e 1500, colocamos em intervalos:

      $\bold{1000< 600k+5 < 1500}$

Resolvemos o intervalo:

      $\text{1000}\ <\ \text{600k + 5}\ <\ 1500\\\\\\1000-5\ <\ \text{600k}\ <\ 1500-5\\\\\\\dfrac{\not{995}}{\not{600}}\ <\ \text{k}\ <\ \dfrac{\not{1495}}{\not{600}}\\\\\\\\ \boldsymbol{1,66\ <\ k\ <\ 2,49}$

Escolhemos o valor inteiro que "k" assume, ja que as moedas são inteiros:

      $\to\ \boxed{\Large{\textsc{k = 2}}}$

Substituímos k = 2 no total de moedas de R$ 1,00:

      $\text{Total\ de\ moedas = 600k + 5}\\\\\\\text{Total\ de\ moedas = 600(2) + 5}\\\\\\\text{Total\ de\ moedas = 1200 + 5}\\\\\\\to\ \boxed{\textsc{Total\ de\ moedas = 1205}}$

Como cada moeda vale R$ 1,00, encontramos a quantia otenida:

        $\text{Quantia = 1205(1)}\\\\\\\to\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{Quantia=1205}}}}}$

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