Question

Qual o resultado desse sistema de equações?

{x^x+y = y^x-y
{x²y = 1

x,y pertence aos R+

Answer 1

Resolver o sistema de equações

$\left\{ \begin{array}{lc} x^{x}+y=y^{x}-y&\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ x^{2}y=1&\;\;\;\;\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$

com $x,\,y\in\mathbb{R^{+}}.$


$\bullet\;\;$ Como $x^{2}>0,$ podemos multiplicar os dois lados da equação $\mathbf{(i)}$ por $x^{2}:$

$x^{2}\,(x^{x}+y)=x^{2}\,(y^{x}-y)\\ \\ x^{x+2}+x^{2}y=x^{2}y^{x}-x^{2}y\\ \\ x^{x+2}+x^{2}y=x^{2}y\cdot y^{x-1}-x^{2}y$


Substituindo $x^{2}y$ por $1$ na equação acima, temos

$x^{x+2}+1=y^{x-1}-1\\ \\ y^{x-1}-x^{x+2}=1+1\\ \\ y^{x-1}-x^{x+2}=2$


Da equação $\mathbf{(ii)}$ do sistema, concluimos que $y=x^{-2}.$ Substituindo acima, temos

$(x^{-2})^{x-1}-x^{x+2}=2\\ \\ x^{-2(x-1)}-x^{x+2}=2\\ \\ x^{-2x+2}-x^{x+2}=2\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


Multiplicando os dois lados por $x^{-x-2},$ temos

$x^{-3x}-1=2x^{-x-2}\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$

Temos as seguintes possibilidades a analisar:


$\bullet\;\;$ Se $x \geq 1:$

Segue que o lado direito da equação $\mathbf{(iv)}$ está sempre entre $0$ e $2:$

$x \geq 1\\ \\ \Rightarrow\;\;-x\leq -1\\ \\ \Rightarrow\;\;-x-2\leq -3\\ \\ \Rightarrow\;\;0<x^{-x-2}\leq x^{-3}\leq 1\\ \\ \Rightarrow\;\;0<2x^{-x-2}\leq 2x^{-3}\leq 2$


enquanto que o lado esquerdo da equação $\mathbf{(iv)}$
nunca é positivo:

$0<x^{-3x}\leq 1\\ \\ -1< x^{-3x}-1\leq 0$


Então, o sistema não tem solução para $x\geq 1$


$\bullet\;\;$ Se $0<x<1:$


Multiplicando os dois lados da equação $\mathbf{(iv)}$ por $x^{3x},$ temos

$1-x^{3x}=2x^{2x-2}\;\;\;\;\;\mathbf{(v)}$


Agora vamos pensar um pouco. Se $0<x<1,$ então

$0<2x<2\\ \\ \Rightarrow\;\;-2<2x-2<0$


Se na desigualdade acima aplicarmos exponencial de base $x,$ com $0<x<1,$ o sentido da desigualdade se inverte:

$\Rightarrow\;\;1<x^{2x-2}<x^{-2}\\ \\ \Rightarrow\;\;2<2x^{2x-2}<2x^{-2}\;\;\;\;\mathbf{(vi)}$


Logo, o lado direito da equação $\mathbf{(v)}$ deve ser maior que $2.$ Mas o lado esquerdo da equação $\mathbf{(v)}$ é

$1-x^{3x}$

que é sempre menor que $1.$


Assim, o sistema também não pode ter solução para $0<x<1.$


$\bullet\;\;$ Finalmente, concluimos que o sistema dado inicialmente não tem solução para $x,\,y\in\mathbb{R^{+}}.$

Answer 2

Ola log

{xˣ  + y = yˣ - y 
{x²y = 1 

x,y pertence aos R+

o gráfico mostra que esse sistema não tem solução