Question

Um triângulo retângulo e isósceles está inscrito numa circunferência de 9 cm de raio. Qual a medida dos lados congruentes do triângulo ?

Answer 1

Se o triângulo é retângulo, o vértice do ângulo formado pelos dois catetos (A) mede 90º. Se ele está inscrito na circunferência, os três vértices (A, B e C) deverão estar sobre a circunferência. 
Para que estas duas condições ocorram simultaneamente, a hipotenusa BC deverá ser diâmetro da circunferência e o vértice A deverá estar em um dos lados da semi-circunferência que foi definida pelo diâmetro, pois ela é o arco capaz de 90º (arco capaz é um conjunto de pontos dos quais um segmento é visto sempre sob um mesmo ângulo).
Então, para que o triângulo seja retângulo, o diâmetro da circunferência será BC e o vértice A poderá ocupar qualquer lugar sobre a semi-circunferência. Já para que o triângulo seja isósceles, os catetos AB e AC deverão ser iguais, ou seja, o vértice A deverá ser equidistante dos pontos B e C, devendo, então, estar na mediatriz de BC.
Vamos chamar ao centro da circunferência de O e vamos considerar o triângulo OAC. Este triângulo é retângulo, pois OA é perpendicular e igual a OC:
OA = OC = 9 cm
O lado AC deste triângulo é a sua hipotenusa e é, também, um dos lados congruentes do triângulo ABC. Então, se aplicarmos ao triângulo OAC o Teorema de Pitágoras, teremos:
AC² = OA² + OC²
AC² = 9² + 9²
AC² = 2 × 9²
AC = 9√2 cm ou
AC = 12,7279 cm

R.: Os lados congruentes do triângulo medem 9√2 cm (ou 12,7279 cm).

Answer 2

Veja:

Se são congruente os lados quer dizer que são necessariamente iguais.
Dividindo o triângulo em duas parte terá h = h. (hipotenusa)

Por Pitágoras:

$h^2 = Ca2 + Co^2 \\ \\ h^2 = 9^2 + 9^2 \\ \\ h^2 = 81 + 81 \\ \\ h^2 = 162 \\ \\ h = \sqrt{162} \\ \\ h = \sqrt{2 * 3^4} \\ \\ h = 3^2 \sqrt{2} \\ \\ =\ \textgreater \ h = 9 \sqrt{2} \ cm$