• Matéria: Matemática
  • Autor: giovannacristin
  • Perguntado 9 anos atrás

Verifique se o vetor (−2,1,4) pertence ao espaço gerado pelas colunas
de
= [
1 2 6
1 1 2
1 0 −2].

Respostas

respondido por: Niiya
8
Queremos verificar se o vetor em questão pertence ao subespaço

H = <(1,1,0), (2,1,0), (6,2,-2)>

Que é o espaço gerado pelas colunas de H (a imagem da matriz dada)

Se isso ocorrer, temos que (-2,1,4) pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, ou seja, existem x, y e z reais tais que

x(1,1,1)+y(2,1,0)+z(6,2,-2)=(-2,1,4)

Podemos representar e resolver o sistema pela notação matricial:

\left[\begin{array}{cccc}1&amp;~~2&amp;~~6&amp;~-2\\1&amp;~~1&amp;~~2&amp;~~~~~1\\1&amp;~~0&amp;-2&amp;~~~~~4\end{array}\right]

Resolvendo por escalonamento:

\left[\begin{array}{cccc}1&amp;~~2&amp;~~6&amp;~-2\\1&amp;~~1&amp;~~2&amp;~~~~~1\\1&amp;~~0&amp;-2&amp;~~~~~4\end{array}\right]~~l_{2}\leftarrow l_{2}-l_{1},~~~l_{3}\leftarrow l_{3}-l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&amp;~~2&amp;~~6&amp;~-2\\0&amp;-1&amp;-4&amp;~~~~~3\\0&amp;-2&amp;-8&amp;~~~~~6\end{array}\right]~~l_{3}\leftarrow(-2)l_{3},~~~l_{2}\leftarrow(-1)l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&amp;~~2&amp;~~6&amp;~-2\\0&amp;~~1&amp;~~4&amp;~-3\\0&amp;~~1&amp;~~4&amp;~-3\end{array}\right]

Descartando a terceira linha, pois é igual a segunda:

\left[\begin{array}{cccc}1&amp;~~2&amp;~~6&amp;~-2\\0&amp;~~1&amp;~~4&amp;~-3\end{array}\right]~~l_{1}\leftarrow l_{1}-2l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&amp;~~0&amp;-2&amp;~~~~~4\\0&amp;~~1&amp;~~4&amp;~-3\end{array}\right]

Essa é a forma totalmente escalonada da matriz. Portanto, temos

1x+0y-2z=4\\0x+1y+4z=-3

Fazendo z = t, temos, pela primeira equação, que

x=4+2t

Pela segunda, temos

y=-3-4t

Portanto, a solução geral é o vetor

(x,y,z)=(4+2t,-3-4t,t)=(4,-3,0)+(2t,-4t,t)=(4,-3)+t(2,-4,1)\\\\\boxed{\boxed{(x,y)=(4,-3,0)+span\{(2,-4,1)\}}}

Claramente, o vetor pertence ao espaço gerado pelas colunas da matriz, já que existem infinitas soluções para o sistema

Vamos testar a solução (4,-3,0):

4(1,1,1)-3(2,1,0)+0(6,2,-2)=(4,4,4)+(-6,-3,0)\\\\4(1,1,1)-3(2,1,0)+0(6,2,-2)=(4-6,4-3,4+0)\\\\4(1,1,1)-3(2,1,0)+0(6,2,-2)=(-2,1,4)

Como esperávamos. Porém,

(x,y,z) = (4,-3,0) + t(2,-4,1) também é solução, para todo t real
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