Question

Determine se os vetores u⃗ = (1, −1, 3), v⃗ = (−2,4,2) e w⃗ = (1,1, −1) são
ortogonais entre si. Caso positivo, determine se formam um sistema de
referência que respeita a regra da mão direita. Caso contrário, re-ortogonalize o
sistema alterando apenas um vetor.

Answer 1

$\bullet\;\;$ Dois vetores são ortogonais entre si se, e somente se, o produto escalar entre eles é zero.


$\bullet\;\;$ Verificando se os vetores são ortogonais dois a dois, efetuando o produto escalar:

$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=(1,\,-1,\,3)\cdot (-2,\,4,\,2)\\ \\ \vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=1\cdot (-2)+(-1)\cdot 4+3\cdot 2\\ \\ \vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=-2-4+6=0\;\;\Rightarrow\;\;\vec{\mathbf{u}}\perp \vec{\mathbf{v}}\\ \\ \\ \vec{\mathbf{v}}\cdot \vec{\mathbf{w}}=(-2,\,4,\,2)\cdot (1,\,1,\,-1)\\ \\ \vec{\mathbf{v}}\cdot \vec{\mathbf{w}}=(-2)\cdot 1+4\cdot 1+2\cdot (-1)\\ \\ \vec{\mathbf{v}}\cdot \vec{\mathbf{w}}=-2+4-2=0\;\;\Rightarrow\;\;\vec{\mathbf{v}}\perp \vec{\mathbf{w}}\\ \\ \\ \vec{\mathbf{w}}\cdot \vec{\mathbf{u}}=(1,\,1,\,-1)\cdot (1,\,-1,\,3)\\ \\ \vec{\mathbf{w}}\cdot \vec{\mathbf{u}}=1\cdot 1+1\cdot (-1)+(-1)\cdot 3\\ \\ \vec{\mathbf{w}}\cdot \vec{\mathbf{u}}=1-1-3=-3\neq 0\;\;\Rightarrow\;\;\vec{\mathbf{w}}\not \perp \vec{\mathbf{u}}$


$\bullet\;\;$ Como o vetor $\vec{\mathbf{w}}$ não é ortogonal ao vetor $\vec{\mathbf{u}},$ o conjunto de vetores dado não forma base ortogonal para $\mathbb{R}^{3}.$