Question

Calcule a derivada da função:
f(x) = ln[sen(x^2)-1]

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \ln( \sin(x {}^{2} ) - 1)$

Para derivarmos essa função, vamos utilizar a regra da cadeia e a regra da potência.

• Regra da cadeia $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$.
• Regra da potência $y^n \to n . y^{n-1}$.

Na aplicação da regra da cadeia, para manter a organização, é bom normearmos as funções:

$f(x) = \ln(u) \: \: e \: \: u = \sin(x {}^{2} ) - 1$

Aplicando de fato a regra:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{du} \ln(u) \: . \: \frac{d}{dx} \sin(x {}^{2} ) - 1 \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{u} \: . \: \cos(x {}^{2} ) \: . \: \frac{d}{dx} x {}^{2} \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{u} \: . \: \cos(x {}^{2} ) \: . \: 2x \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{2x}{u} \: . \: \cos(x {}^{2} )$

Repondo a função que representa "u":

$\frac{df(x)}{du} = \frac{2x}{ \sin(x {}^{2}) - 1 } \: . \: \cos( {x}^{2} ) \\ \\ \boxed{ \frac{df(x)}{dx} = \frac{2x \: . \: \cos(x {}^{2} )}{ \sin(x {}^{2}) - 1 }}$

Espero ter ajudado