Question

calcule a, b e c para que a matriz seja simétrica.

A) a = –3; b = 3 e c = 2
B) a = –2; b = 3 e c = 3
C) a = 3; b = –3 e c = 2
D) a = 3; b = –1 e c = 0

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Seja a matriz $A=\begin{bmatrix}2&a+2&8\\-1&3&2c-2\\b+5&2&4\\\end{bmatrix}$. Devemos determinar o valor das constantes $a,~b$ e $c$ de modo que a matriz $A$ seja simétrica.

Lembre-se que uma matriz quadrada de ordem $n$ é simétrica quando $M=M^t$, em que $M^t$ é a matriz transposta de $M$.

A matriz transposta é calculada quando se troca a ordem de linhas e colunas. Veja no exemplo de matrizes de ordem $2:$ $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}^t=\begin{bmatrix}a&c\\b&d\\\end{bmatrix}$.

Assim, calcule a matriz $A^t$:

$A^t=\begin{bmatrix}2&a+2&8\\-1&3&2c-2\\b+5&2&4\\\end{bmatrix}^t=\begin{bmatrix}2&-1&b+5\\a+2&3&2\\8&2c-2&4\\\end{bmatrix}$

Então, iguale as matrizes:

$\begin{bmatrix}2&a+2&8\\-1&3&2c-2\\b+5&2&4\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-1&b+5\\a+2&3&2\\8&2c-2&4\\\end{bmatrix}$

Para que duas matrizes sejam iguais, seus elementos respectivos devem ser iguais. Com isso, facilmente percebe-se que:

$\begin{cases}a+2=-1\\b+5=8\\2c-2=2\\\end{cases}$

Resolvendo as equações, temos:

$\begin{cases}a=-3\\b=3\\c=2\\\end{cases}$

Estes são os valores das constantes que fazem com que as matrizes sejam simétricas.