Question

Inequação quociente do primeiro grau

Answer 1

Para resolver uma inequação quociente de maneira algorítmica, devemos estar na forma

$\dfrac{p_{1}(x)}{p_{2}(x)}~(\ge~ou~\textgreater~ou~\le~ou~\textless)~0$

Para isso, vamos subtrair 1 dos dois lados da inequação

$\dfrac{x-3}{2x-1}~\textgreater~1\\\\\\\dfrac{x-3}{2x-1}-1~\textgreater~1-1\\\\\\\dfrac{x-3}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x-1}~\textgreater~0\\\\\\\dfrac{x-3-(2x-1)}{2x-1}~\textgreater~0\\\\\\\dfrac{x-3-2x+1}{2x-1}~\textgreater~0\\\\\\\dfrac{-x-2}{2x-1}~\textgreater~0\\\\\\-\dfrac{x+2}{2x-1}~\textgreater~0$

Multiplicando os dois lados por (-1) e invertendo o sinal de desigualdade:

$\dfrac{x+2}{2x-1}~\textless~0$

Para resolver essa inequação, seguimos um algoritmo

Encontrando as raízes do numerador e denominador:

$x+2=0~\leftrightarrow~\boxed{x=-2}\\\\2x-1=0~\leftrightarrow~\boxed{x=\dfrac{1}{2}}$

Fazendo o estudo de sinais do numerador e do denominador:

$x+2~\textless~0~~se~~x~\textless-2\\x+2~\textgreater~0~~se~~x~\textgreater-2\\\\2x-1~\textless~0~~se~~x~\textless~\frac{1}{2}\\2x-1~\textgreater~0~~se~~x~\textgreater~\frac{1}{2}$

Após fazer isso, colocamos os intervalos em retas, para poder avaliar o sinal da interseção entre os intervalos encontrados (já que o quociente de números com sinais diferentes é negativo e o quociente de números com sinais iguais é positivos, assim como no produto)

Olhando a interseção (imagem) e sabendo que queremos apenas o intervalo onde (x + 2) / (2x - 1) é negativa, concluímos que a solução é o intervalo

$\boxed{\boxed{S=\left(-2,~\dfrac{1}{2}\right)}}$