Question

Uma esfera condutora neutra de 8,1 cm de raio econtrasse no vácuo, onde a constante eletrostática vale 9,0 10^9 N m² C-². Determine:

a) a capacitância da esfera;

b) o potencial atingido pela esfera, quando recebe uma carga igual a 2 µC.

Answer 1

Resposta:

a) A capacitância da esfera é

$\boxed{\mathbf {\sf \displaystyle C =9{,}0 \times 10^{-12} \: F}}}$

b) O potencial atingido pela esfera é de cerca de

$\boxed{\mathbf {\sf \displaystyle V = {2{,}2 \times 10 ^{5} \: V } }}$

Cerca de 200 mil volts.

Explicação:

a) Deve-se lembrar que a capacitância de uma esfera isolada, no vácuo é dada pela equação:

$\boxed{\mathbf {C = 4 \pi \epsilon_0 R }}$

e também que a constante eletrostática, k, fornecida no enunciado é

$\mathbf {\sf \displaystyle k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9,0 \times 10^{9} \: N \cdot m^2 \cdot C^{-2}}$

Além disso o raio, R, da esfera também foi dado (deve ser transformado para o SI)

$\mathbf {\sf \displaystyle R = 8{,}1 \: cm = 8{,}1\times 10^{-2} \: m}$

Substituindo os valores dados na equação (I):

$\mathbf {\sf \displaystyle C = 4 \pi \epsilon_0 R = \frac{1}{k} \cdot R = \frac{1}{9 \times 10^9} \cdot 8{,}1\times 10^{-2} }}$

$\boxed{\mathbf {\sf \displaystyle C =9{,}0 \times 10^{-12} \: F}}}$

b) O cálculo do potencial atingido pela esfera quando adquire uma carga de 2 microcoulombs pode ser feito através da relação entre capacitância (C), d.d.p (V) e carga (Q):

$\boxed{\mathbf {\sf \displaystyle C =\frac{Q}{V} }} \ \sf (II)$

Substituindo o valor dado da carga e a capacitância calculada:

$\mathbf {\sf \displaystyle 9,0 \times 10 ^{-12} =\frac{2 \times 10 ^{-6}}{V} }$

$\mathbf {\sf \displaystyle V = \frac{2 \times 10 ^{-6}}{9{,}0 \times 10 ^{-12}} }$

$\boxed{\mathbf {\sf \displaystyle V \simeq {2{,}2 \times 10 ^{5} \: V } }}$

Obs: Esse mesmo valor seria obtido usando-se a equação:

$\boxed {\mathbf {\sf \displaystyle V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q}{R} } }$

$\mathbf {\sf \displaystyle V = 9,0 \times 10^{9} \cdot \frac{2\times10^{-6}}{8{,}1 \times 10 ^{-2}} \simeq 2,2 \times 10 ^{5}}$