Question

Verifique se estão alinhados ou não os seguintes pontos:8) A (1,3), B (0,1) e C (3,5)

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos verificar se os pontos $A~(1,~3),~B~(0,~1)$ e $C~(3,~5)$ estão alinhados.

Para isso, lembre-se que três pontos de coordenadas $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$ estão alinhados se vale a seguinte propriedade:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Substituindo as coordenadas dos pontos $A,~B$ e $C$, teremos:

$\begin{vmatrix}1&3&1\\0&1&1\\3&5&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante de ordem $3$, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\begin{vmatrix}1&3&1\\0&1&1\\3&5&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}1&3\\0&1\\3&5\\\end{matrix}~=0$

Aplique a Regra de Sarrus

$1\cdot1\cdot1+3\cdot1\cdot3+1\cdot0\cdot5-(3\cdot0\cdot1+1\cdot1\cdot5+1\cdot1\cdot3)=0$

Multiplique e some os valores

$1+9+0-(0+5+3)=0\\\\\\ 10-8=0\\\\\\ 2=0$

Visto que o lado direito da igualdade é diferente do lado esquerdo da igualdade, conclui-se que os pontos $A,~B$ e $C$ não estão alinhados, como se pode ver na imagem em anexo.