Seja ABC um triângulo e sejam M, N e P os pontos médios dos segmentos de reta AB, BC e AC, respectivamente. Escreva o vetor CM em função dos vetores BP e AN.
Respostas
A relação entre CM, BP e AN no triângulo da figura é: CM = BP + AN.
Anexei uma figura no final desta resolução, para facilitar o entendimento.
Nela podemos ver, em roxo, os pontos importantes e todos os vetores que utilizaremos.
Utilizando o triângulo BCM, podemos escrever a soma:
CM = CB + BM
Como M é o ponto médio entre A e B, então BM = BA/2, logo:
CM = CB + BA/2
Tomando o triângulo BCP:
CB = BP + PC
Substituindo na nossa relação anterior:
CM = (BP + PC) + BA/2
Pegando o triângulo ABN deduzimos que:
BA = AN + NB
Logo, substituindo na relação anterior:
CM = BP + PC + (AN + NB)/2
CN = BP + PC + AN/2 + NB/2
CM = BP + AN/2 + (2PC + NB)/2
Como P é o ponto médio entre A e C, então PC = AC/2, ou ainda, AC = 2PC. Substituindo na relação acima:
CM = BP + AN/2 + (AC + NB)/2
Sendo N o ponto médio entre B e C, podemos estabelecer a relação CN = NB, de tal maneira que ficaremos com:
CM = BP + AN/2 + (AC + CN)/2
Tomando, por fim, o triângulo ACN, temos:
AC + CN = AN
Substituindo:
CM = BP + AN/2 + AN/2 = BP + AN
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