Question

Calcule as integrais abaixo


$\int\limits {x} (x^{2} +1)^{2013} \, dx$


Gabarito:


$a) =\frac{(x^{2} + 1)^{2014} }{4028} +K$

Answer 1

A integral indefinida é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x\left(x^2+1\right)^{2013}\,dx = \frac{\left(x^2+1\right)^{2014}}{4028} + K\end{gathered} }$

Temos diversas métodos de integração, o mais simples e famoso é o método da substituição, é um método utilizado para "desfazer" a regra da cadeia, utilizamos ele quando temos uma função multiplicando outra, e a derivada de uma das funções coincide com uma das funções que está multiplicando, no exercício isso irá ficar mais claro.

Ou seja, temos uma função composta, e a derivada da função aparece fora, i.e:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int f\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\, dx\end{gathered}$

Então podemos dizer que:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&g\left(x\right) = u\\ \\&g'(x)\,dx = du\end{aligned}$

Então podemos escrever nossa integral como:

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int f(u)\,du\end{gathered}$

Obs: se a nossa integral é definida, i.e tem intervalos [a,b] de integração, então temos que corrigir o intervalo de integração:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{b}^{a} f\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\, dx = \int^{g(a)}_{g(b)} f(u)\, du \end{gathered}$

Logo se temos a função:

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}h(x)=x\left(x^2+1\right)^{2013}\end{gathered}$

Vamos identificar as funções compostas para ajudar na análise:

Note que:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^{2013}\quad g(x) = x^2+1\end{gathered}$

Além disso, veja que:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}g'(x) = 2x\\ \\\end{gathered}$

Portanto irei chamar de u:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = x^2+1 \Rightarrow du = 2x\,dx\\ \\dx = \frac{du}{2x}\end{gathered}$

Então fazendo a substituição temos:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x\left(x^2+1\right)^{2013}\,dx = \int \frac{x\left(u\right)^{2013}}{2x}\,du\end{gathered} }$

E isso se reduz a integral simples:

                                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int \frac{u^{2013}}{2}\,du\end{gathered} }$

Pela propriedade de multiplicação da integral, temos que:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx, \quad c = \text{const}\end{gathered}$

Logo

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{1}{2}\int u^{2013}\,du\end{gathered}$

A integral de um monômio de grau n é dado por:

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1} + K, \quad n \ne -1\end{gathered} }$

Então nossa integral é

                                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{1}{2}\left[ \frac{u^{2014}}{2014}\right]\\ \\\frac{u^{2014}}{4028} + K\\ \\\end{gathered} }$

Porém como dito acima, u = x²+1, então o resultado é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x\left(x^2+1\right)^{2013}\,dx = \frac{\left(x^2+1\right)^{2014}}{4028} + K\end{gathered} }$

Obs: como a integral é indefinida não podemos esquecer da constante.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/41522652

brainly.com.br/tarefa/41326751

Gráfico das funções em anexo.

Obs: integral com K = 0.