Question

Calcule os autovalores e autovetores da transformação T(x,y)= (7x+4y; -3x-y)

Answer 1

Para encontrar os autovalores / autovetores de T, devemos achar a matriz associada a transformação linear em questão

A matriz é dada por

$A=\left[\begin{array}{ccc}|&|\\T(\vec{u})&T(\vec{v})\\|&|\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}|&|\\\vec{u}&\vec{v}\\|&|\end{array}\right]^{-1}$

Se escolhermos u = (1,0) e v = (0,1), temos

$A=\left[\begin{array}{ccc}|&|\\T(\vec{e_{1}})&T(\vec{e_{2}})\\|&|\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}|&|\\T(\vec{e_{1}})&T(\vec{e_{2}})\\|&|\end{array}\right]$

Então, basta avaliarmos a transformação nos vetores da base canônica para encontrar A
______________________________

Avaliando T(e₁) = T(1,0):

$T(1,0)=(7\cdot1+4\cdot0,-3\cdot1-0)=(7,-3)$

Avaliando T(e₂):

$T(0,1)=(7\cdot0+4\cdot1,-3\cdot0-1)=(4,-1)$

Portanto, a matriz associada a T é

$A=\left[\begin{array}{cc}~~7&~~4\\-3&-1\end{array}\right]$

Para acharmos os autovalores de A, devemos achar as raízes do polinômio característico

$p_{c}^{A}(\lambda)=det(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}~~7-\lambda&~~4\\-3&-1-\lambda\end{array}\right|\\\\\\p_{c}^{A}(\lambda)=(7-\lambda)(-1-\lambda)-4\cdot(-3)\\\\p_{c}^{A}(\lambda)=-7-7\lambda+\lambda+\lambda^{2}+12\\\\p_{c}^{A}(\lambda)=\lambda^{2}-6\lambda+5$

Para encontrarmos as raízes, fazemos

$p_{c}^{A}(\lambda)=0\\\\\lambda^{2}-6\lambda+5=0$

Resolvendo, por soma e produto, encontramos

$S=6~~e~~P=5~\longrightarrow~\lambda_{1}=1~~e~~\lambda_{2}=5$

Esses são os autovalores da transformação
_____________________________

Achando uma base para o autoespaço associado a λ = 1:

Para isso, basta acharmos uma base para $Nuc(A-\lambda I)=Nuc(A-I)$

$A-I=\left[\begin{array}{ccc}~~7&~~4\\-3&-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}~~6&~~4\\-3&-2\end{array}\right]$

Achando base pro núcleo de A - I:

$\left[\begin{array}{cccc}~~6&~~4&~~~0\\-3&-2&~~~0\end{array}\right]~~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1},~~l_{2}\leftarrow(-1)l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}3&2&~~~0\\3&2&~~~0\end{array}\right]$

Podemos descartar uma das linhas, ficando com

$3x+2y=0$

Parametrizando por y, temos que

$3x=-2y~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=-\dfrac{2}{3}y}}$

Logo, todo vetor do núcleo é da forma

$(x,y)=\left(-\dfrac{2}{3}y,y\right)=y\left(-\dfrac{2}{3},1\right)$

Portanto, o núcleo de A - I é

$N(A-I)=span\{\left(-\dfrac{2}{3},1\right)\}=span\{(-2,~3)\}$

Logo, (-2,3) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1
________________

Achando base para o autoespaço associado a λ = 5

$A-5I=\left[\begin{array}{cc}~~7&~~4\\-3&-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}5&0\\0&5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}~~2&~~4\\-3&-6\end{array}\right]$

Achando base para o núcleo dessa matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}~~2&~~4&~~~0\\-3&-6&~~~0\end{array}\right]~l_{1}\leftarrow(\frac{1}{2})l_{1},~~l_{2}\leftarrow(-\frac{1}{3})l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&2&~~~0\\1&2&~~~0\end{array}\right]~descartando~l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&2&~~~0\end{array}\right]$

Temos uma variável livre. Parametrizando por ela, encontramos

$N(A-5I)=span\{(-2,1)\}$

E, portanto, (-2,1) é autovetor associado ao autovalor 5