Question

(UEL - PR) Se -2 é uma das raízes da equação x3+4x2+x+K=0, onde K€R, o produto das outras raízes dessa equação é:

Answer 1

$\text x^3+4\text x^2+\text x+\text k =0 \ \ ;\ \text k \in\mathbb{R} \\\\ \underline{\text{-2 {\'e} uma das ra{\'i}zes, ent{\~a}o}}: \\\\ (-2)^3+4(-2)^2+(-2)+\text k=0 \\\\ -8+16-2+\text k=0 \\\\ \boxed{\text k = -6}$

Relações de girard para polinômio de 3º grau :

$\text A.\text x^3+\text B.\text x^2+\text C.\text x+\text D= 0$

$\displaystyle \underline{\text{produto das ra{\'i}zes}}: \\\\ \text x_1.\text x_2.\text x_3=\frac{-\text D}{\text A}$

onde :

$\text x_1, \ \text x_2 , \ \text x_ 3 =$ raízes

Temos :

$\displaystyle \text x^3+4\text x^2+\text x-6=0$

digamos que : $\text x_3 = -2$, então :

$\displaystyle \underline{\text{produto das ra{\'i}zes}}: \\\\ \text x_1.\text x_2.\text x_3=\frac{-(-6)}{1} \\\\\ \text x_1.\text x_2.(-2)=6 \\\\ \underline{\text{portanto o produto das outras ra{\'i}zes {\'e}}}: \\\\\\ \huge\boxed{\text x_1.\text x_2= -3}\checkmark$