Question

1)Qual a probabilidade de, num grupo de 4 pessoas, haver coincidência de signos zodiacais?

Answer 1

Vamos chamar o primeiro signo de 1, o segundo de 2, ..., e o décimo segundo de 12, e definir o espaço amostral do experimento:

$\Omega=\{\omega=(\omega_{1},~\omega_{2},~\omega_{3},~\omega_{4})~/~\omega_{i}=(1,~2,...,~12),~i=1,..,4\}$

O "tamanho" desse conjunto (número de possíveis arrumações dos signos das 4 pessoas) é calculado pelo princípio multiplicativo

Existem 12 possíveis signos para a pessoa 1
Existem 12 possíveis signos para a pessoa 2
Existem 12 possíveis signos para a pessoa 3
Existem 12 possíveis signos para a pessoa 4

Logo:

$n(\Omega)=12\cdot12\cdot12\cdot12=12^{4}$
______

O evento que estamos procurando é {as 4 pessoas possuírem o mesmo signo}, formalmente definido pelo seguinte conjunto

$A=\{(\omega_{1},...,\omega_{4})\in\Omega~/~\omega_{i}=\omega_{j}~para~todo~i,j~entre~1~e~4\}$

E o tamanho desse conjunto é facilmente calculado pelo princípio multiplicativo

Existem 12 possibilidades de signo para a primeira pessoa. Para as outras, há apenas 1 possibilidade (pois os signos delas devem ser iguais ao signo da primeira)

Então, $n(A)=12\cdot1\cdot1\cdot1=12$

Portanto, a probabilidade do evento A ocorrer é

$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{12}{~12^{4}}=\dfrac{1}{12^{3}}\\\\\\\boxed{\boxed{P(A)=\left(\dfrac{1}{12}\right)^{3}}}$