Question

Considere a função f(x) = |x+1|. Mostre que esta função é contínua no ponto x= -1 mas não é derivável neste ponto.

Answer 1

Uma função f(x) é contínua no ponto 'a' se f(a) existe, e se $\lim_{x \to a} f(x)$ existe e é igual a f(a).

Primeiro vamos mostrar que f(a), onde a=-1 existe:

$f(x)=|x+1| \\ f(-1)=|-1+1|=0$

Agora vamos calcular os limites laterais:
$\lim_{x \to -1^{+} } |x+1|=0 \\ \lim_{x \to -1^{-} } |x+1|=0$
Logo a função dada é contínua em x=-1

Pronto, agora usando a definição de derivada por limites, sabemos que uma função é derivável se:
$\lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
existe.

Como estamos lidando com uma função modular, temos que:
$\left \{ {{|x+1|=x+1, x \geq -1} \atop {|x+1|=-x-1,x\ \textless \ -1}} \right.$

Então vamos analisar os dois casos:

Para x maior ou igual a -1, temos:

$\lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\= \lim_{h \to 0 } \frac{|x+h+1|-|x+1|}{h} \\ =\lim_{h \to 0 } \frac{x+h+1-x-1}{h} \\ =\lim_{h \to 0 } \frac{h}{h} \\ =\lim_{h \to 0 } 1=1$

Para x menor que -1, temos:
$\lim_{h \to 0 } \frac{|x+h+1|-|x+1|}{h} \\ =\lim_{h \to 0 } \frac{-x-h-1+x+1}{h} \\ =\lim_{h \to 0 } \frac{-h}{h} \\ =\lim_{h \to 0 } -1=-1$

Como os limites são diferentes isso implica que a derivada não existe, logo a função dada não é derivável em x=-1