Question

Suponha que a temperatura T(t) de um corpo imerso em um meio com temperatura
constante e igual a 20 seja tal que T(0) = 80 graus Celsius. Segundo a Lei do Resfriamento de Newton, a taxa de variação T′ (t) é proporcional a diferença entre as temperaturas T(t) e 20. Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a −2, segue que

T′ (t) = −2(T(t) − 20), t > 0.

(a) A partir dos dados apresentados, determine a temperatura T(t).

(b) Determine o instante t0 em que T(t0) = 40.

(c) O que acontece com a temperatura T(t) após muito tempo?

Answer 1

Olá, boa noite.

Suponha que a temperatura $T(t)$ de um corpo imerso em um meio com temperatura constante e igual a $20~\bold{^{\circ}C}$ seja tal que $T(0)=80~\bold{^{\circ}C}$. Segundo a Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de variação $T'(t)$ é proporcional à diferença entre as temperaturas $T(t)$ e $20~\bold{^{\circ}C}$.  Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a $-2$, segue que:

$T'(t)=-2\cdot(T(t)-20),~t>0$

Devemos determinar:

a) A função temperatura $T(t)$

Para isso, devemos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem, de coeficientes constantes. Neste caso, esta se torna uma equação diferencial separável, a qual podemos reescrever da seguinte forma:

$T'(t)=\dfrac{dT}{dt}\\\\\\ \dfrac{dT}{dt}=-2\cdot(T(t)-20)\\\\\\\Rightarrow \dfrac{dT}{T-20}=-2\,dt$

Integrando ambos os lados da igualdade, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{dT}{T-20}=\int -2\,dt}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• O caso particular da regra acima é a integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$.
• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.

Na primeira integral, faça uma substituição $u=T-20$ e diferencie ambos os da igualdade de modo a calcular o diferencial $du$.

$(u)'=(T-20)'\\\\\\ \dfrac{du}{dT}=1\\\\\\\Rightarrow du=dT$

Substituindo este resultado e aplicando a linearidade na segunda integral, teremos:

$\displaystyle{\int\dfrac{du}{u}=-2\cdot\int1\,dt}$

Calcule as integrais, sabendo que $1=t^0$

$\ln|u|+C_1=-2\cdot\left(\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C_2\right)$

Some os valores no expoente e denominador e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\ln|u|+C_1=-2\cdot\left(\dfrac{x^{1}}{1}+C_2\right)\\\\\\ \ln|u|+C_1=-2t-2C_2$

Desfaça a substituição $u=T-20$ e subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade

$\ln|T-20|=-2t-2C_2-C_1$

Considere $-2C_2-C_1=C_3$ uma constante arbitrária e faça:

$\ln|T-20|=-2t+C_3\\\\\\ T-20=e^{-2T+C_3}$

Aplique a propriedade de potências: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ e considere $e^{C_3}=C$. Some $20$ em ambos os lados da igualdade.

$T-20=Ce^{-2t}\\\\\\ T(t)=Ce^{-2t}+20$

Utilizando a condição de contorno $T(0)=80$, calculamos a constante $C$:

$T(0)=Ce^{-2\cdot0}+20\\\\\\ 80=C+20$

Subtraia $20$ em ambos os lados da igualdade.

$C=60$

Dessa forma, a função temperatura é dada por: $T(t)=60e^{-2t}+20~~\checkmark$

b) O instante $t_0$ em que $T(t_0)=40~\bold{^{\circ}C}$

Utilizando a função encontrada no passo anterior, temos:

$40=60e^{-2t_0}+20$

Subtraia $20$ em ambos os lados da igualdade.

$60e^{-2t_0}=20$

Divida ambos os lados da igualdade por $60$ e simplifique a fração

$e^{-2t_0}=\dfrac{1}{3}$

Calcule o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade

$\ln(e^{-2t_0})=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\\\\\ -2t_0=-\ln(3)$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $-2$

$t_0=\dfrac{\ln(3)}{2}~~\checkmark$

c) O que acontece com a temperatura $T(t)$ após muito tempo?

Para isso, devemos calcular o limite da função temperatura quando $t\rightarrow\infty$:

$\underset{t\rightarrow\infty}{\lim}~T(t)=\underset{t\rightarrow\infty}{\lim}~60e^{-2t}+20$

Calculando o limite, facilmente temos que:

$\underset{t\rightarrow\infty}{\lim}~T(t)=20~\bold{^{\circ}C}~~\checkmark$

Conclui-se que após muito tempo, o corpo entra em equilíbrio térmico com o meio no qual está imerso, em que sua temperatura é constante e igual ao meio.