Question

Um professor prepara uma lista com oito questões e entrega a seus alunos para que, como forma de avaliação, os alunos resolvam apenas cinco questões. Duas das oito questões são obrigatórias. Imagine que todos os alunos façam a avaliação e que não existam provas com as mesmas cinco questões. Podemos afirmar que o número de alunos da turma é igual a:

a) 6

b) 20

c) 56

d) 120

e) 336

Answer 1

Resposta:

b) 20

O número máximo de alunos na turma é 20.

Explicação passo-a-passo:

Trata-se de um problema de aplicação de combinação. Lembrando-se da fórmula geral para o cálculo da combinação de n, p a p.

$\boxed{\sf \displaystyle C_{n,p} = \frac{n !}{p! \cdot (n - p)!} } \ \sf (I)$

Deve-se ter em mente que do total de 8 questões 2 são obrigatórias e, portanto, para se resolver 5, deve-se escolher 3 questões para resolver dentre 6 opções. (Combinação de 6, 3 a 3.)

Dessa forma, o número que de combinações possíveis é:

$\sf \displaystyle C_{6,3} = \frac{6 !}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 }{6} = 20$

$\boxed{\sf \displaystyle C_{6,3} = 20}$

Esse é o número de provas diferentes que podem ser feitas. Se todos os alunos fazem provas nas quais não se repetem as 5 questões, o número máximo de alunos na turma é 20.