Question

Dada F(x)=2x-1/x-3, resolva a equação F(F(x))=1.

Answer 1

O domínio da função em questão é

$\mathrm{Dom}(F)=\mathbb{R}-\{3\}$

(pois o denominador não pode se anular)


Se $F(x)=\dfrac{2x-1}{x-3},$ então

$F(F(x))=\dfrac{2\,F(x)-1}{F(x)-3}\\ \\ \\ F(F(x))=\dfrac{2\cdot \frac{2x-1}{x-3}-1}{\frac{2x-1}{x-3}-3}$


Como $x-3\neq 0,$ podemos multiplicar o numerador e o denominador por $(x-3):$

$F(F(x))=\dfrac{2\cdot (2x-1)-(x-3)}{(2x-1)-3\,(x-3)}\\ \\ \\ F(F(x))=\dfrac{4x-2-x+3}{2x-1-3x+9}\\ \\ \\ F(F(x))=\dfrac{3x+1}{8-x}$


O domínio da função obtida acima (a composta de $F$ com ela mesma) é

$\mathrm{Dom}(F\circ F)=\mathbb{R}-\{3,\,8\}$


$\bullet\;\;$ Queremos resolver a seguinte equação:

$F(F(x))=1\\ \\ \dfrac{3x+1}{8-x}=1\\ \\ 3x+1=8-x\\ \\ 3x+x=8-1\\ \\ 4x=7\\ \\ x=\frac{7}{4}$


O conjunto solução da equação proposta é $S=\left\{\frac{7}{4} \right \}.$