Question

$\lim_{x \to \ 0} \frac{ e^{x} -1}{sen(x)}$

Answer 1

Temos uma indeterminação do tipo zero sobre zero, pois:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{sen(x)} = \frac{1-1}{0}= \frac{0}{0}$

Logo podemos usar a regra de l'hospital:
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{sen(x)} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{d}{dx}( e^x-1)}{ \frac{d}{dx} sen(x)} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{cos(x)}= \frac{e^0}{cos0} = \frac{1}{1} =1$

Answer 2

$L=\underset{x \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-1}{\mathrm{sen\,}x}\\ \\ \\ =\underset{x \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-1}{x}\cdot \dfrac{x}{\mathrm{sen\,}x}\\ \\ \\ =\underset{x \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-1}{x}\cdot \dfrac{1}{\left(\frac{\mathrm{sen\,}x}{x} \right )}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Calculemos os seguintes limites:

$\bullet\;\;L_{1}=\underset{x \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-1}{x}$


Fazendo a seguinte mudança de variável,

$u=e^{x}-1\;\;\Rightarrow\;\;x=\mathrm{\ell n}\,(u+1)$


temos que $u\to 0$ quando $x\to 0.$ Sendo assim, ficamos com

$L_{1}=\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{u}{\mathrm{\ell n\,}(u+1)}\\ \\ \\ L_{1}=\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{\frac{1}{u}\cdot \mathrm{\ell n\,}(u+1)}\\ \\ \\ L_{1}=\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{\mathrm{\ell n\,}(u+1)^{1/u}}\\ \\ \\ L_{1}=\dfrac{1}{\mathrm{\ell n}\left[\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;(u+1)^{1/u} \right ]}$


O limite em colchetes é o limite exponencial fundamental e vale $e.$ Assim, ficamos com

$L_{1}=\dfrac{1}{\mathrm{\ell n}\,e}\\ \\ \\ L_{1}=\dfrac{1}{1}\\ \\ \\ L_{1}=1\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\underset{x \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$


$\bullet\;\;$ O próximo limite é o limite trigonométrico fundamental:

$L_{2}=\underset{x \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{x}=1$


$\bullet\;\;$ Voltando ao limite dado inicialmente, pela equação $\mathbf{(i)}$ e pelos limites $L_{1}$ e $L_{2}$ calculados, obtemos

$L=\underset{x \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-1}{x}\cdot \dfrac{1}{\left(\frac{\mathrm{sen\,}x}{x} \right )}\\ \\ \\ L=L_{1}\cdot \dfrac{1}{L_{2}}\\ \\ \\ L=1\cdot \dfrac{1}{1}\\ \\ \\ L=1\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c} \underset{x \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-1}{\mathrm{sen\,}x}=1 \end{array}}$