Question

LIM [(2x^4) + x -1] / [(-x^2) +1]
x->1

Answer 1

Como x tende para 1, basta substituir x por 1 e calcular o valor numérico:
veja:

$\frac{2 .1^{4}+1-1 }{- 1^{2}+ 1 }= \frac{2+1-1}{-1+1} = 0$

Answer 2

Vamos avaliar o seguinte limite:

$L=\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2x^{4}+x-1}{1-x^{2}}$


Fazendo $x\to 1,$ obtemos uma indeterminação do tipo $k/0,$ sendo que neste caso $k=2>0.$

Toda vez que isso acontece, tem três possibilidades para o limite:

Ou o limite é $+\infty,$ ou é $-\infty,$ ou o limite não existe.


$\bullet\;\;$ O numerador é positivo na vizinhança de $1,$ pois o numerador calculado em $1$ resulta $2>0.$


Vamos estudar o sinal do denominador:

$g(x)=1-x^{2}$

na vizinhaça de $x=1.$


Vindo por valores menores que $1,$ $g(x)$ é positiva.

Vindo por valores maiores que $1,$ $g(x)$ é negativa.


Como o denominador muda de sinal na vizinhança do ponto $x=1,$ o limite

$\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2x^{4}+x-1}{1-x^{2}}$

não existe.