Question

Calcule os limites abaixo:

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x \to \: \infty } \ln(x {}^{2} + 1) - \ln(1 + 2x {}^{2} )$

Pela propriedade de log's, sabemos que:

$\ln(a) - \ln(b) = \ln \left( \frac{a}{b} \right)$

Aplicando no nosso limite, temos que:

$\lim_{x \to \: \infty } \ln \left( \frac{x {}^{2} + 1}{1 + 2x {}^{2} } \right )$

Tem uma propriedade de limites que diz:

$\lim_{x \to \: a } \ln(f(x)) \: \to \: \ln(\lim_{x \to \: a } f(x))$

Portanto, temos que:

$\ln \left(\lim_{x \to \: \infty } \frac{x {}^{2} + 1}{1 + 2x {}^{2} } \right)$

Vamos dividir todos os termos pelo de maior grau, ou seja, x²:

$\ln \left(\lim_{x \to \: \infty } \frac{ \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } + \frac{1}{x {}^{2} } }{ \frac{1}{x {}^{2} } + \frac{2x {}^{2} }{x {}^{2} } } \right) \: \to \: \ln \left(\lim_{x \to \: a } \frac{1 + 0}{0 + 2} \right)\\ \\ \ln \left(\lim_{x \to \: \infty } \frac{1}{2} \right) \: \to \: \ln \left( \frac{1}{2} \right) \: ou \: - \ln(2)$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed{\lim_{x \to \: \infty } \ln(x {}^{2} + 1) - \ln(1 + 2x {}^{2} ) = \ln \left( \frac{1}{2} \right)}$

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x \to \infty } \left( \frac{2x + 1}{2x} \right) {}^{x}$

Temos um limite fundamental, muito parecido com esse, que é dado por:

$\lim_{x \to \: \infty } \left(1 + \frac{1}{x} \right) {}^{x} = e$

Modificando a expressão do limite, temos:

$\lim_{x \to \: \infty } \left( 1 + \frac{1}{2x} \right) {}^{x}$

Para que o 1/x do limite fundamental apareça, vamos fazer uma substituição. Digamos então que:

$\frac{1}{2x} = \frac{1}{h} \: \to \: h = 2x \: \to \: x = \frac{h}{2}$

Substituindo essas informações no limite:

$\lim_{h \to \: \infty } \left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{ \frac{h}{2} }$

Se h = 2x e x tende para infinito, então h também tende para infinito, por isso podemos manter o valor a qual o "x" tende. Observe que temos quase o limite fundamental, a única coisa que está diferente é o expoente, mas podemos escrever essa expressão da seguinte maneira:

$\lim_{h \to \: \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{ h } \right ]^{ \frac{1}{2} } \: \to \:\left[ \lim_{h \to \: \infty } \left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{ h } \right ]^{ \frac{1}{2} }$

Pronto, chegamos no limite fundamental, então vamos substituir o valor dele:

$\left[ \lim_{h \to \: \infty } \left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{ h } \right ]^{ \frac{1}{2} } = e {}^{ \frac{1}{2} }$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed{\lim_{x \to \: \infty } \left( \frac{2x + 1}{2x} \right) {}^{x} = e {}^{ \frac{1}{2} } }$

Espero ter ajudado