Question

Questão 1: [2,0 pontos] O aluguel anual inicial de uma casa é de R$ 1.200,00. O inquilino
concorda em alugar por 7 anos completos. O proprietário oferece a ele dois contratos:
Contrato n°1: O inquilino aceita a cada ano um aumento de 5% do aluguel do ano anterior.
a) Expresse o valor do aluguel un do enésimo ano em função de n.
b) Calcule o valor do aluguel que será pago no 6º ano.
c) Calcule o valor pago, no total, ao completar 7 anos de ocupação.
Contrato n°2: O inquilino aceita um aumento fixo de R$ 150,00 por ano.
d) Expresse o valor do aluguel vn para o enésimo ano em função de n.
e) Calcule o valor do aluguel que será pago no 6º ano.
f) Calcule o valor pago, no total, ao completar 7 anos de ocupação.
g) Qual contrato é o mais vantajoso ao término dos sete anos?​

Answer 1

(g) O contrato mais vantajoso é o contrato nº 1.

Podemos resolver essa questão utilizando os conceitos de progressão aritmética e geométrica.

a) O aumento de 5% ao ano implica que o preço do aluguel será multiplicado sucessivamente por 1,05 a cada ano, então:

A = 1200·1,05ⁿ

b) n = 0 corresponde ao valor inicial, então, no sexto ano, temos n = 5, temos:

A = 1200·1,05⁵

A = R$1531,54

c) Para calcular o valor total, devemos calcular a soma dos valores dos alugueis para n = 0 até n = 6. Podemos utilizar a fórmula da soma dos termos da PG finita para 7 termos:

Sₙ = a₁·(qⁿ-1)/(q-1)

S₇ = 1200·(1,05⁷-1)/(1,05-1)

S₇ = R$9770,41

d) No caso do contrato 2, o preço sofrerá um aumento fixo de R$150,00, então, temos:

A = 1200 + 150·n

e) n = 0 corresponde ao valor inicial, então, no sexto ano, temos n = 5, temos:

A = 1200 + 150·5

A = R$1950,00

f) Neste caso, calculamos a soma dos termos da PA finita de 7 termos:

Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2

S₇ = (a₁ + a₇)·7/2

S₇ = (1200 + 1200 + 150·6)·7/2

S₇ = 3300·7/2

S₇ = R$11550,00