Question

Mostre que a área sombreada da figura anexa é a^2Ф-1/2a^2sen2Ф

Answer 1

A região está descrita em coordenadas polares. Portanto, partimos diretamente para a mudança de coordenadas polares padrão:

$\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos \theta\\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array} \right.\;\;&\;\;\begin{array}{c} 0\leq \theta \leq \phi\\ 0\leq r \leq 2a\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array} \end{array}$


O módulo do Jacobiano desta transformação é

$|\mathrm{Jac\,}\varphi|=r$


A área pedida é dada pela integral dupla da função constante igual a $1$ sobre a região:

$\text{\'{A}rea}=\displaystyle\iint_{D_{xy}}{1\,dx\,dy}\\ \\ \\ =\displaystyle\iint_{D_{r\theta}}{1\cdot |\mathrm{Jac\,}\varphi|\,dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\phi}\int\limits_{0}^{2a\,\mathrm{sen\,}\theta}{1\cdot r\,dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\phi}{\left.\dfrac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{2a\,\mathrm{sen\,}\theta}\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\phi}{\dfrac{(2a\,\mathrm{sen\,}\theta)^{2}} {2}\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{\phi}{\dfrac{4a^{2}\,\mathrm{sen^{2}\,}\theta}{2}\,d\theta}\\ \\ \\ =2a^{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{\phi}{\mathrm{sen^{2}\,}\theta\,d\theta}$


Utilizando a identidade trigonométrica do arco duplo, substituímos a expressão $\mathrm{sen^{2}\,}\theta}:$

$=2a^{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{\phi}{\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\cos 2\theta}{2} \right )\,d\theta}\\ \\ \\ =2a^{2}\cdot \left.\left(\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\mathrm{sen\,} 2\theta}{4}\right)\right|_{0}^{\phi}\\ \\ \\ =2a^{2}\cdot \left(\dfrac{\phi}{2}-\dfrac{\mathrm{sen\,} 2\phi}{4}\right)\\ \\ \\ =\dfrac{2a^{2}\cdot \phi}{2}-\dfrac{2a^{2}\cdot \mathrm{sen\,} 2\phi}{4}\\ \\ \\ =a^{2}\phi-\dfrac{1}{2}\,a^{2}\,\mathrm{sen\,}2\phi$