Question

qual a derivada da funçao y²=2x³ ?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos calcular a derivada da função $y^2=2x^3$.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(y^2)=\dfrac{d}{dx}(2x^3)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e é calculada pela regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=y'(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(a\cdot f(x))=a\cdot \dfrac{df}{dx}$, em que $a$ é uma constante.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia e a linearidade

$(y^2)'\cdot \dfrac{dy}{dx}=2\cdot (x^3)'$

Aplique a regra da potência

$2\cdot y^{2-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}=2\cdot3\cdot x^{3-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$2y\cdot \dfrac{dy}{dx}=6x^2$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2y,~y\neq0$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6x^2}{2y}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^2}{y}$

Calculando a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade $y^2=2x^3$, temos:

$\sqrt{y^2}=\sqrt{2x^3}\\\\\\ y=\pm~\sqrt{2x^3}$

Substituímos este resultado no passo anterior

$\dfrac{dy}{dx}=\pm\dfrac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}~~\checkmark$

Esta é a derivada desta função.