Question

por que 3 elevado a -5 é igual a 1 sobre 3 elevado a 5?

Answer 1

Vamos definir duas propriedades básicas da potenciação e, a partir delas, concluiremos que uma base elevada a um expoente negativo é igual ao seu inverso.

Propriedade 1

Numa multiplicação de potências de bases iguais, conserva-se a base e soma-se os expoentes.

$a {}^{n} + a {}^{m} = a {}^{n + m}$

Exemplo:

$2 {}^{2} \times {2}^{3} = 2 {}^{2 + 3} = 2 {}^{5}$

Se você desenvolver as potências individualmente verá que o número de fatores 2 é exatamente a soma dos expoentes.

$2 {}^{2} \times 2 {}^{3} \\ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

Propriedade 2

Todo número elevado a zero é 1.

Tudo bem, isso não faz sentido mesmo. A questão é que precisamos saber quanto vale um número elevado a zero, e para isso, queremos que a propriedade 1 continue valendo.

Vamos usar a propriedade 1 para descobrir o que é um número elevado a zero.

Lembrando que a propriedade 1 diz que, bases iguais, somam-se os expoentes. Vamos colocar um expoente zero e ver o que rola.

$2 {}^{0} \times 2 {}^{3} = 2 {}^{0 + 3} = 2 {}^{3}$

Observe que nada mudou, 2³ continuou sendo 2³. Então, se isso é uma multiplicação, qual número que se eu multiplicar por 2³ continua sendo 2³ ?

Só pode ser 1. Um vezes qualquer coisa é a própria coisa.

Então, definimos que, todo número elevado a zero é 1.

Generalizando, temos:

$a {}^{0} = 1$

Onde "a", é qualquer número diferente de zero.

Agora vamos definir o que é um número elevado a expoente negativo, utilizando novamente a propriedade 1

Lembre-se que, bases iguais, somam-se os expoentes.

$2 {}^{3} \times 2 {}^{ - 3} = 2 {}^{3 + ( - 3)} = 2 {}^{0} = 1$

Veja que isso resultou em 2⁰, mas todo número elevado a zero é 1.

Qual número que, devemos multiplicar 2³ para que isso resulte em 1 ?

Devemos multiplicar 2³ pelo seu inverso, ou seja, 1/2³.

Qualquer número multiplicado pelo seu inverso é igual a 1.

Note:

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$

Então, 2-³ deve ser o inverso de 2³.

$2 {}^{3} \times 2 {}^{ - 3} = 2 {}^{3} \times \frac{1}{2 {}^{3} } = \frac{2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 } = 1$

Generalizando, todo número elevado a um expoente negativo, é igual ao inverso desse número elevado aquele expoente.

$a {}^{ - n} = \frac{1}{a {}^{n} }$

Então, 3-⁵ = 1/3⁵