Question

Seja ABC um triângulo retângulo em A. Sabendo que o ângulo C mede 30º e que a bissetriz
interna do ângulo B é igual a 6 cm, qual o perímetro do triângulo ABC, em cm?

Answer 1

Boa noite!


Solução!


Primeiro vamos escrever qual é a função dessa bissetriz:a bissetriz divide o ângulo em partes iguais.


Uma informação importante que será usada no exercício são as relações trigonométricas.


Vou postar um desenho para você entender como foi feito.

Se a bissetriz divide um ângulo em partes congruentes então temos dois triângulos.


$\triangle ABD$

$\dfrac{h}{6} = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \\\\\\\  2h=6 \sqrt{3} \\\\\\ h= \dfrac{6 \sqrt{3} }{2} \\\\\\ h=3 \sqrt{3}$


$\dfrac{x}{6}= \dfrac{1}{2} \\\\\\ 2x=6 \\\\\\\ x=\dfrac{6}{2} \\\\\\x=3$


O ponto de intersecção da bissetriz com a base do triângulo ABC divide o seguimento da base em partes iguais logo temos um triangulo isósceles.

Então a base do triângulo ABC  é igual a 9,com isso podemos aplicar o teorema de Pitágoras.

$\overline{BC} ^{2}=(3 \sqrt{3})^{2}+(9)^{2} \\\\\\ \overline{BC} ^{2}= (9.3)+(81)\\\\\\ \overline{BC} ^{2}=27+81= \sqrt{108}\\\\\ \overline{BC} =6 \sqrt{3}$

Logo o perímetro é:

$P=3 \sqrt{3} +6 \sqrt{3}+9 \\\\\ P= \sqrt{3}(3+6)+9 \\\\\ P= 9\sqrt{3}+9 cm$

Da uma olhada no gráfico.

Bons estudos!