Question

Um objeto é solto do repouso de uma altura de H no instante t = 0. Um segundo objeto é arremessado para baixo com uma velocidade vertical de 80 m/s depois de um intervalo de tempo de 4,0 s, após o primeiro objeto. Sabendo que os dois atingem o solo ao mesmo tempo, calcule H (considere a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s²). Como resolve?

Answer 1

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•    1º objeto:

     •    altura inicial:   $\mathsf{H_0=H;}$

     •    velocidade inicial:   $\mathsf{v_0=0}$   (parte do repouso);

     •    aceleração:   $\mathsf{a=-g=-10~m/s^2;}$

     •    instante inicial:   $\mathsf{t_0 = 0}$   (instante em que o 1º objeto é solto).


Equação horária da posição (altura) do 1º objeto:

$\mathsf{H_1(t)=H_0+v_0 t+\dfrac{1}{2}\,at^2}\\\\\\ \mathsf{H_1(t)=H+0t+\dfrac{1}{2}\cdot (-10)t^2}\\\\\\ \mathsf{H_1(t)=H-5t^2}$


•    2º objeto:

     •    altura inicial:   $\mathsf{H_0=H;}$

     •    velocidade inicial:   $\mathsf{v_0=-80~m/s}$

     •    aceleração:   $\mathsf{a=-g=-10~m/s^2.}$


Equação horária da posição (altura) do 2º objeto:

$\mathsf{H_2(t)=}\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{H,}&\textsf{ se }\mathsf{0\le t<4}\\\\ \mathsf{H_0+v_0(t-4)+\dfrac{1}{2}\,a(t-4)^2,}&\textsf{ se }\mathsf{t\ge 4} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{H_2(t)=}\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{H,}&\textsf{ se }\mathsf{0\le t<4}\\\\ \mathsf{H-80(t-4)-5(t-4)^2,}&\textsf{ se }\mathsf{t\ge 4} \end{array}\right.$


Tivemos que usar $\mathsf{(t-4)}$ na equação horária acima pois $\mathsf{t}$ é a variável que indica quanto tempo se passou após o 1º objeto ser solto, sendo que o 2º foi solto 4 segundos depois.

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Como ambos os objetos atingem o solo ao mesmo tempo, vamos encontrar o instante em que isso ocorre:

$\mathsf{H_1(t)=H_2(t)}\qquad\quad\textsf{para }\mathsf{t\ge 4}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! H-5t^2=\diagup\!\!\!\! H-80(t-4)-5(t-4)^2}\\\\ \mathsf{-5t^2=-80(t-4)-5(t-4)^2}\\\\ \mathsf{-5t^2+80(t-4)+5(t-4)^2=0}\\\\ \mathsf{-5t^2+80(t-4)+5(t^2-8t+16)=0}\\\\ \mathsf{-\diagup\!\!\!\!\! 5t^2+80t-320+\diagup\!\!\!\!\! 5t^2-40t+80=0}$

$\mathsf{80t-320-40t+80=0}\\\\ \mathsf{40t-240=0}\\\\ \mathsf{40t=240}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{240}{40}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{t=6~s} \end{array}}$


Este é o instante em que os dois objetos chegam ao solo, contando após o 1º objeto ser solto.

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Usaremos o fato de que

$\mathsf{H_1(6)=H_2(6)=0}$


para calcular a altura inicial. Vamos usar a equação horária do 1º objeto:

$\mathsf{H_1(6)=H-5\cdot 6^2}\\\\ \mathsf{0=H-5\cdot 6^2}\\\\ \mathsf{0=H-5\cdot 36}\\\\ \mathsf{H=5\cdot 36}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{H=180~m} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


A altura inicial H era de 180 metros.


Bons estudos! :-)


Tags: queda livre lançamento vertical altura tempo gravidade movimento acelerado cinemática