Question

x²y+xy²=30
x+xy+y=11

Determinam,no plano cartesiano, os vertices de um poligono cuja area vale: A-2,5, B-3, C-1,5, D-0,5, E-2,0

Cálculos!

Answer 1

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+xy^{2} = 30& \\ x+xy+y = 11 & \end{matrix}\right.$

Se a gente fatorar a primeira equação:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+xy^{2} = 30& \Rightarrow xy(x+y) = 30 \\ x+xy+y = 11 & \Rightarrow x+y = 11-xy \end{matrix}\right. \\\\\\ \rightarrow xy(x+y) = 30 \\\\ xy \cdot (11-xy) = 30 \\\\ 11xy-(xy)^{2} = 30 \\\\ \boxed{xy = a} \\\\ 11a-a^{2} = 30 \\\\ a^{2}-11a+30 = 0 \\\\ \boxed{a' = 5} \\\\ \boxed{a'' = 6}$

Voltando ao nosso sistema, temos que:

$a = xy \\\\ \therefore xy = 5 \ ou \ xy = 6$

Então, para a situação em que xy = 5, temos que:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+xy^{2} = 30& \Rightarrow 5(x+y) = 30 \\ x+xy+y = 11 & \Rightarrow x+y = 11-5 \end{matrix}\right. \\\\ \therefore x+y = 6$

Para a situação em que xy = 6, temos que:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+xy^{2} = 30& \Rightarrow xy(x+y) = 30 \\ x+xy+y = 11 & \Rightarrow x+y = 11-6 = 5 \end{matrix}\right. \\\\ \therefore x+y = 5$

Portanto, temos dois sistemas possiveis:

$\left\{\begin{matrix} xy = 5 & \\ x+y = 6 & \end{matrix}\right. \ e \ \left\{\begin{matrix} xy = 6 & \\ x+y = 5 & \end{matrix}\right.$

Resolvendo os dois, temos que:

No primeiro sistema, caimos numa equação de segundo grau e x assume dois valores x' = 1 (por isso y = 5) e x'' = 5 (por isso y = 1)

Então já temos dois pares: (1,5) e (5,1)

No segundo sistema, tiramos que:

x' = 2 (y = 3) e x'' = 3 (y = 2)

Então são 4 pares no total: (1,5); (5,1); (2,3); (3,2)

Utilizando a ferramenta do agrimensor para a área;

A = 1/2 · | 1 5 |
               | 5 1 |
               | 3 2 |
               | 2 3 |
               | 1 5 |

A = 1/2·(25+3+4+3-1-10-9-10)
A = 1/2·(35-30)
A = 1/2·5
A = 2,5