Question

se um cateto e a hipotenusa de triangulo retangulo medem a e 3a , respectivamente, então o cosseno de ângulo oposto ao menor lado é

Answer 1

olá, primeiro temos que analisar qual o menor lado , como a soma dos catetos tem que ser maior que a hipotenusa logo somando uma valor a (a) para ser maior que 3a vai ter que ser maior que (a) logo a é a menor medida
Feito isso notamos que para calcular o cosseno de alfa vamos precisar do valor de X , então temos que usar o teorema de Pitágoras com ele acharemos a medida de X , daí é só substituir na fórmula do cosseno e pronto achamos o cosseno do ângulo oposto ao menor lado

Answer 2

Vamos lá

Veja:se um dos catetos mede "a" e a hipotenusa mede "3a", então o menor lado medirá "a", pois chamando o segundo cateto de "x" e aplicando Pitátoras, teremos:

(3a)² = a² +  x²
9a² =  a² + x²
9a² - a²= x²
8a² =  x² ----- invertendo-se  teremos:
x² = 8a²
x = +-√(8a²)---- veja  que  8 = 2³ = 2²*2 . Assim:
x  +- √(2².a².2) ---- note que o "2" e o "a" saem de dentro da raiz, por estarem ao quadrado. Assim:

x = +- 2a√(2) ---- como a medida não pode ser negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

x = 2a√(2) <---- Esta é a medida do 2º cateto do triângulo retângulo da sua questão.

Como afirmamos antes, então o  menor lado realmente mede "a".

Agora vamos encontrar qual é o cosseno do ângulo oposto ao menor lado (a).
Antes veja que o seno é dado por:

sen(α) = cateto oposto/hipotenusa 

Fazendo-se as devidas substituições, teremos:

sen(α) = a/3a ----- dividindo-se  numerador e denominador por "a",  ficaremos:

sen(α) = 1/3<---- Este é o valor do seno do ângulo oposto ao menor lado.

Mas queremos é o cosseno desse ângulo. Então, pela primeira relação trigonométrica, encontramos o cosseno. Segundo essa primeira relação, temos:

sen²(α) + cos²(α) = 1 -----  substituindo-se sen(α) por 1/3 teremos:

(1/3)² + cos²(α) =  1
1/9 + cos²(α) = 1
cos²(α) = 1 - 1/9 ------ veja que: 1 - 1/9 = 8/9. Logo:
cos²(α) = 8/9
cos(α) = +-√(8/9) ---- ou, o que é a mesma coisa:
cos(α) = +-√(8)/√(9) --- veja que 8  = 2²*2; e √(9) = 3. Assim:
cos(α) = +-√(2².2)  / 3 ----- como o "2" está ao quadrado, então ele sai da raiz, ficando:

cos(α) = +-2√(2) / 3 ------ note que um triângulo retângulo tem um ângulo reto e dois ângulos agudos. E, considerando que o cosseno ora encontrado é de um ângulo agudo, então esse ângulo será do 1º quadrante, local em que todas as funções trigonométricas são positivas. Assim, tomando-se apenas a raiz positiva, teremos que:

cos(α) = 2√(2) / 3 <---- Esta é a resposta. Este é o valor do cosseno pedido.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.