Question

É possível estimar a área de um círculo de raio unitário (r=1) utilizando polígonos regulares? sim ou não? e porque?

Answer 1

Percebe-se que quanto mais o número de lados de um polígono cresce mais se aproxima da forma de um círculo. Esse fato já havia sido percebido pelos gregos há muitos séculos atrás.
Demonstração:
Ângulo central de um polígono regular é igual a α=2π/n
Se n tende a infinito α tende a zero
A área desse triangulo é igual a: S=r*r*sen(α)/2 
Para angulos pequenos senα é aproximandamente α
Logo a área do triangulo do angulo central é igual a: r²α/2
A soma das área de todos os infinitos triangulos é igual a área desse polígono:
r²/2(α+α+α+...+α) A soma desses infinitos α é igual a 2π, logo:
A área do polígono é igual a: Área do polígono=2πr²/2⇒πr²
Logo a área de um polígono que tende a ter infinitos lados tende a área de uma circulo.