Question

se a diagonal de um cubo é raiz de 300 cm, quanto mede a diagonal de uma de suas faces?

Answer 1

Seja o cubo da figura em anexo, no qual:
- As arestas medem a
- AC é a diagonal de uma de suas faces (ABCD)
- EC é a diagonal do cubo

A diagonal de uma face do cubo é a diagonal de um quadrado, a qual determina no quadrado dois triângulos retângulos isósceles, de catetos iguais ao lado do quadrado (a). Assim, de aplicarmos a um destes triângulos (ADC) o Teorema de Pitágoras, teremos:
AC² = a² + a²
AC² = 2a²
AC = a√2 (diagonal da face do cubo) [1]

 Por sua vez, a diagonal do cubo (EC) é a hipotenusa de um triângulo retângulo, no qual um dos catetos é uma aresta (EA = a) e o outro cateto é a diagonal da face, cujo valor acabamos de calcular (AC = a√2).
Assim, se aplicarmos a este triângulo (AEC) novamente o Teorema de Pitágoras, obteremos:
EC² = EA² + AC²
EC² = a² + 2a²
EC² = 3a²
EC = a√3 (diagonal do cubo) [2]

Como a questão nos informa que a diagonal do cubo (EC) é igual a √300, vamos substituir este valor acima, em [2]:

√300 = a√3
√3 × 100 = a√3
√3 × 10² = a√3
10√3 = a√3
10 = a [3]

Obtido o valor de a em [3], vamos substituir o seu valor em [1], obtendo o valor da diagonal de uma de suas faces:

AC = a√2

AC = 10√2 cm, ou
AC = 10 × 1,414
AC = 14,14 cm

R.: A diagonal de uma das faces do cubo mede 14,14 cm ou 10√2 cm.